Question Flash : théorème de Thalès, longueur et parallélisme | Site2Wouf

📐 La technique

Les deux configurations

Dans les deux cas, deux droites sécantes en un point A sont coupées par deux droites parallèles. Ce qui change, c'est la position des points :

• Configuration classique (ou « triangle ») : les deux parallèles sont du même côté de A.
• Configuration papillon : elles sont de part et d'autre de A, qui se retrouve au milieu — la figure ressemble à deux triangles opposés par le sommet.

💡 La méthode est exactement la même dans les deux cas. Le papillon n'est pas un théorème différent, seulement un dessin différent.

Écrire les rapports

Si A, M, B sont alignés, A, N, C aussi, et (MN) // (BC), alors :

AM / AB = AN / AC = MN / BC

💡 La règle qui évite toutes les erreurs : chaque rapport se lit « petit sur grand », et les trois commencent par le sommet commun. Écris les trois avant de remplacer par les nombres, même si tu n'en utilises que deux.

⚠️ Erreur classique : mélanger l'ordre, par exemple écrire AM/AB = AC/AN. Un rapport à l'endroit et l'autre à l'envers, et le résultat est faux.

Calculer une longueur

On garde les deux rapports qui contiennent la longueur cherchée et trois longueurs connues, puis on fait un produit en croix.

💡 Exemple : AM/AB = MN/BC avec AM = 3, AB = 9, BC = 12 → MN = 3 × 12 ÷ 9 = 4.

Démontrer que deux droites sont parallèles

C'est la réciproque. On calcule séparément les deux quotients AM/AB et AN/AC :

• s'ils sont égaux (et les points bien placés dans le même ordre), alors (MN) // (BC) ;
• s'ils sont différents, les droites ne sont pas parallèles.

💡 Compare les quotients sous forme de fractions simplifiées plutôt qu'en valeurs décimales : 7/21 et 4/12 se ramènent tous deux à 1/3, ça se voit d'un coup d'œil.

⚠️ Attention à l'ordre des points : deux quotients égaux ne suffisent pas si M et N ne sont pas du même côté de A.