Exercice 1 — Correction
Un tableau est un tableau de proportionnalité lorsque l'on passe de la première ligne à la seconde en multipliant toujours par le même nombre. Ce nombre est le coefficient de proportionnalité : on le retrouve en divisant chaque valeur de la seconde ligne par la valeur correspondante de la première.
Tableau A — on calcule chaque quotient :
- 144 = 3,5
- 288 = 3,5
- 31,59 = 3,5
- 45,513 = 3,5
Tous les quotients sont égaux à 3,5.
Le tableau A est un tableau de proportionnalité, de coefficient 3,5.
Tableau B — on calcule de même :
- 42 = 2
- 105 = 2
- 20,59 ≈ 2,278
- 2010 = 2
Les quotients ne sont pas tous égaux : la première colonne donne 2, alors que la colonne « 9 » donne 2,278.
Le tableau B n'est pas un tableau de proportionnalité.
Astuce : il suffit de deux quotients différents pour conclure que le tableau n'est pas proportionnel. En revanche, pour affirmer qu'il l'est, il faut vérifier toutes les colonnes.
Exercice 2 — Correction
Méthode 1 — le passage par l'unité. On calcule d'abord la valeur pour 1, puis on multiplie par la quantité voulue. C'est la méthode la plus sûre.
1. Prix d'un seul stylo :
49,5011 = 4,50
Un stylo coûte 4,50 €.
2. Prix de 30 stylos : on multiplie le prix unitaire par 30.
4,50 × 30 = 135,00
30 stylos coûtent 135 €.
Méthode 2 — le produit en croix. Dans un tableau de proportionnalité, les produits en croix sont égaux : le prix cherché vaut 49,50 × 3011 = 135,00, ce qui donne bien le même résultat.
3. Tableau complété :
| Nombre de stylos | 11 | 1 | 30 | 100 |
|---|
| Prix (en €) | 49,50 | 4,50 | 135,00 | 450,00 |
Le coefficient de proportionnalité de ce tableau est 4,50 : c'est le prix d'un stylo, en €.
Exercice 3 — Correction
Prendre t % d'une quantité, c'est la multiplier par t100. Un pourcentage est une fraction de dénominateur 100 : c'est une situation de proportionnalité.
1. On cherche 25 % de 180 :
180 × 25100 = 180 × 25100 = 45
Il y a 45 romans.
Calculer le pourcentage que représente une part : on divise la part par le total, puis on multiplie par 100.
2. La part est 72 sur 300 :
72300 × 100 = 0,24 × 100 = 24
Cela représente 24 % des livres.
Retrouver le total connaissant la part et le taux : on divise la part par le taux, puis on multiplie par 100 (on « remonte » le pourcentage).
3. 100 représentent 25 % du total :
100 × 10025 = 400
L'effectif total est de 400 livres.
Vérification (à faire systématiquement) : 25 % de 400, c'est 400 × 0,25 = 100. C'est bien la part de départ.
Exercice 4 — Correction
Coefficient multiplicateur. Augmenter de t %, c'est multiplier par 1 + t100. Diminuer de t %, c'est multiplier par 1 − t100. Une seule multiplication remplace le calcul de la part puis l'addition : c'est plus rapide et moins risqué.
1. Augmentation de 5 % : le coefficient multiplicateur est
1 + 5100 = 1 + 0,05 = 1,05
150 × 1,05 = 157,50
Le nouveau prix d'une trottinette est de 157,50 €.
2. Diminution de 10 % : le coefficient multiplicateur est
1 − 10100 = 1 − 0,1 = 0,9
75 × 0,9 = 67,50
Le prix soldé d'une guitare est de 67,50 €.
Piège classique : une baisse de 10 % ne se « rattrape » pas par une hausse de 10 %. Reprendre 67,5 et l'augmenter de 10 % donne 74,25, et non 75.
3. On calcule d'abord le coefficient multiplicateur, en divisant le prix d'arrivée par le prix de départ :
72,0080 = 0,9
On compare ce coefficient à 1 :
0,9 − 1 = −0,1, soit −10 %
Le taux d'évolution est de 10 %, il s'agit d'une baisse.
À retenir : un coefficient supérieur à 1 signale une hausse, un coefficient inférieur à 1 une baisse. Le taux d'évolution s'obtient toujours en retranchant 1 au coefficient, puis en convertissant en pourcentage.
Exercice 5 — Correction
Une échelle 1 / 10 000 signifie que 1 cm sur la carte représente 10 000 cm dans la réalité. Distance sur la carte et distance réelle sont proportionnelles.
1. On multiplie la distance sur la carte par 10 000 :
12,5 × 10 000 = 125 000 cm
On convertit en km (1 km = 100 000 cm) :
125 000100 000 = 1,25
La distance réelle est de 1,25 km.
2. 1,5 km = 150 000 cm. On divise par 10 000 :
150 00010 000 = 15
Sur la carte, ces deux lieux sont distants de 15 cm.
3.
Oui : pour passer de la carte à la réalité, on multiplie toujours par le même nombre, 10 000. C'est le coefficient de proportionnalité.
Erreur fréquente : oublier la conversion. L'échelle relie des cm à des cm. Il faut convertir en km seulement à la fin (1 km = 100 000 cm).
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