Exercice 1 — Correction
Un tableau est un tableau de proportionnalité lorsque l'on passe de la première ligne à la seconde en multipliant toujours par le même nombre. Ce nombre est le coefficient de proportionnalité : on le retrouve en divisant chaque valeur de la seconde ligne par la valeur correspondante de la première.
Tableau A — on calcule chaque quotient :
- 152 = 7,5
- 304 = 7,5
- 67,59 = 7,5
- 82,511 = 7,5
Tous les quotients sont égaux à 7,5.
Le tableau A est un tableau de proportionnalité, de coefficient 7,5.
Tableau B — on calcule de même :
- 122 = 6
- 366 = 6
- 6010 = 6
- 7512 = 6,25
Les quotients ne sont pas tous égaux : la première colonne donne 6, alors que la colonne « 12 » donne 6,25.
Le tableau B n'est pas un tableau de proportionnalité.
Astuce : il suffit de deux quotients différents pour conclure que le tableau n'est pas proportionnel. En revanche, pour affirmer qu'il l'est, il faut vérifier toutes les colonnes.
Exercice 2 — Correction
Méthode 1 — le passage par l'unité. On calcule d'abord la valeur pour 1, puis on multiplie par la quantité voulue. C'est la méthode la plus sûre.
1. Prix d'une seule place de cinéma :
6,408 = 0,80
Une place de cinéma coûte 0,80 €.
2. Prix de 32 places de cinéma : on multiplie le prix unitaire par 32.
0,80 × 32 = 25,60
32 places de cinéma coûtent 25,60 €.
Méthode 2 — le produit en croix. Dans un tableau de proportionnalité, les produits en croix sont égaux : le prix cherché vaut 6,40 × 328 = 25,60, ce qui donne bien le même résultat.
3. Tableau complété :
| Nombre de places de cinéma | 8 | 1 | 32 | 100 |
|---|
| Prix (en €) | 6,40 | 0,80 | 25,60 | 80,00 |
Le coefficient de proportionnalité de ce tableau est 0,80 : c'est le prix d'une place de cinéma, en €.
Exercice 3 — Correction
Prendre t % d'une quantité, c'est la multiplier par t100. Un pourcentage est une fraction de dénominateur 100 : c'est une situation de proportionnalité.
1. On cherche 45 % de 480 :
480 × 45100 = 480 × 45100 = 216
Il y a 216 à temps partiel.
Calculer le pourcentage que représente une part : on divise la part par le total, puis on multiplie par 100.
2. La part est 132 sur 300 :
132300 × 100 = 0,44 × 100 = 44
Cela représente 44 % des salariés.
Retrouver le total connaissant la part et le taux : on divise la part par le taux, puis on multiplie par 100 (on « remonte » le pourcentage).
3. 32 représentent 8 % du total :
32 × 1008 = 400
L'effectif total est de 400 salariés.
Vérification (à faire systématiquement) : 8 % de 400, c'est 400 × 0,08 = 32. C'est bien la part de départ.
Exercice 4 — Correction
Coefficient multiplicateur. Augmenter de t %, c'est multiplier par 1 + t100. Diminuer de t %, c'est multiplier par 1 − t100. Une seule multiplication remplace le calcul de la part puis l'addition : c'est plus rapide et moins risqué.
1. Augmentation de 15 % : le coefficient multiplicateur est
1 + 15100 = 1 + 0,15 = 1,15
320 × 1,15 = 368,00
Le nouveau prix d'un casque audio est de 368 €.
2. Diminution de 40 % : le coefficient multiplicateur est
1 − 40100 = 1 − 0,4 = 0,6
300 × 0,6 = 180,00
Le prix soldé d'une guitare est de 180 €.
Piège classique : une baisse de 40 % ne se « rattrape » pas par une hausse de 40 %. Reprendre 180 et l'augmenter de 40 % donne 252, et non 300.
3. On calcule d'abord le coefficient multiplicateur, en divisant le prix d'arrivée par le prix de départ :
225,00250 = 0,9
On compare ce coefficient à 1 :
0,9 − 1 = −0,1, soit −10 %
Le taux d'évolution est de 10 %, il s'agit d'une baisse.
À retenir : un coefficient supérieur à 1 signale une hausse, un coefficient inférieur à 1 une baisse. Le taux d'évolution s'obtient toujours en retranchant 1 au coefficient, puis en convertissant en pourcentage.
Exercice 5 — Correction
Une échelle 1 / 100 000 signifie que 1 cm sur la carte représente 100 000 cm dans la réalité. Distance sur la carte et distance réelle sont proportionnelles.
1. On multiplie la distance sur la carte par 100 000 :
7,2 × 100 000 = 720 000 cm
On convertit en km (1 km = 100 000 cm) :
720 000100 000 = 7,2
La distance réelle est de 7,2 km.
2. 4,5 km = 450 000 cm. On divise par 100 000 :
450 000100 000 = 4,5
Sur la carte, ces deux lieux sont distants de 4,5 cm.
3.
Oui : pour passer de la carte à la réalité, on multiplie toujours par le même nombre, 100 000. C'est le coefficient de proportionnalité.
Erreur fréquente : oublier la conversion. L'échelle relie des cm à des cm. Il faut convertir en km seulement à la fin (1 km = 100 000 cm).
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