Exercice 1 — Correction
Un tableau est un tableau de proportionnalité lorsque l'on passe de la première ligne à la seconde en multipliant toujours par le même nombre. Ce nombre est le coefficient de proportionnalité : on le retrouve en divisant chaque valeur de la seconde ligne par la valeur correspondante de la première.
Tableau A — on calcule chaque quotient :
- 12 = 0,5
- 3,57 = 0,5
- 4,59 = 0,5
- 612 = 0,5
Tous les quotients sont égaux à 0,5.
Le tableau A est un tableau de proportionnalité, de coefficient 0,5.
Tableau B — on calcule de même :
- 2,259 = 0,25
- 312 = 0,25
- 3,2513 = 0,25
- 614 ≈ 0,429
Les quotients ne sont pas tous égaux : la première colonne donne 0,25, alors que la colonne « 14 » donne 0,429.
Le tableau B n'est pas un tableau de proportionnalité.
Astuce : il suffit de deux quotients différents pour conclure que le tableau n'est pas proportionnel. En revanche, pour affirmer qu'il l'est, il faut vérifier toutes les colonnes.
Exercice 2 — Correction
Méthode 1 — le passage par l'unité. On calcule d'abord la valeur pour 1, puis on multiplie par la quantité voulue. C'est la méthode la plus sûre.
1. Prix d'un seul cahier :
4,808 = 0,60
Un cahier coûte 0,60 €.
2. Prix de 21 cahiers : on multiplie le prix unitaire par 21.
0,60 × 21 = 12,60
21 cahiers coûtent 12,60 €.
Méthode 2 — le produit en croix. Dans un tableau de proportionnalité, les produits en croix sont égaux : le prix cherché vaut 4,80 × 218 = 12,60, ce qui donne bien le même résultat.
3. Tableau complété :
| Nombre de cahiers | 8 | 1 | 21 | 100 |
|---|
| Prix (en €) | 4,80 | 0,60 | 12,60 | 60,00 |
Le coefficient de proportionnalité de ce tableau est 0,60 : c'est le prix d'un cahier, en €.
Exercice 3 — Correction
Prendre t % d'une quantité, c'est la multiplier par t100. Un pourcentage est une fraction de dénominateur 100 : c'est une situation de proportionnalité.
1. On cherche 45 % de 240 :
240 × 45100 = 240 × 45100 = 108
Il y a 108 demi-pensionnaires.
Calculer le pourcentage que représente une part : on divise la part par le total, puis on multiplie par 100.
2. La part est 88 sur 200 :
88200 × 100 = 0,44 × 100 = 44
Cela représente 44 % des élèves.
Retrouver le total connaissant la part et le taux : on divise la part par le taux, puis on multiplie par 100 (on « remonte » le pourcentage).
3. 42 représentent 12 % du total :
42 × 10012 = 350
L'effectif total est de 350 élèves.
Vérification (à faire systématiquement) : 12 % de 350, c'est 350 × 0,12 = 42. C'est bien la part de départ.
Exercice 4 — Correction
Coefficient multiplicateur. Augmenter de t %, c'est multiplier par 1 + t100. Diminuer de t %, c'est multiplier par 1 − t100. Une seule multiplication remplace le calcul de la part puis l'addition : c'est plus rapide et moins risqué.
1. Augmentation de 5 % : le coefficient multiplicateur est
1 + 5100 = 1 + 0,05 = 1,05
180 × 1,05 = 189,00
Le nouveau prix d'une console de jeu est de 189 €.
2. Diminution de 30 % : le coefficient multiplicateur est
1 − 30100 = 1 − 0,3 = 0,7
400 × 0,7 = 280,00
Le prix soldé d'une trottinette est de 280 €.
Piège classique : une baisse de 30 % ne se « rattrape » pas par une hausse de 30 %. Reprendre 280 et l'augmenter de 30 % donne 364, et non 400.
3. On calcule d'abord le coefficient multiplicateur, en divisant le prix d'arrivée par le prix de départ :
32,0040 = 0,8
On compare ce coefficient à 1 :
0,8 − 1 = −0,2, soit −20 %
Le taux d'évolution est de 20 %, il s'agit d'une baisse.
À retenir : un coefficient supérieur à 1 signale une hausse, un coefficient inférieur à 1 une baisse. Le taux d'évolution s'obtient toujours en retranchant 1 au coefficient, puis en convertissant en pourcentage.
Exercice 5 — Correction
La vitesse moyenne est une grandeur composée : v = distancedurée. Distance et durée sont proportionnelles, le coefficient de proportionnalité est la vitesse. Attention aux unités : des km et des h donnent des km/h.
1. On divise la distance par la durée :
v = 1351,5 = 90
La vitesse moyenne est de 90 km/h.
2. En 2 h, soit 2 h :
d = 90 × 2 = 180
Le train parcourt 180 km.
3. Pour 270 km :
t = 27090 = 3
Il lui faut 3 h.
Conversion utile : une durée décimale se convertit en minutes en multipliant la partie décimale par 60 (0,25 h = 15 min ; 0,5 h = 30 min ; 0,75 h = 45 min).
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