Exercice 1 — Correction
Un tableau est un tableau de proportionnalité lorsque l'on passe de la première ligne à la seconde en multipliant toujours par le même nombre. Ce nombre est le coefficient de proportionnalité : on le retrouve en divisant chaque valeur de la seconde ligne par la valeur correspondante de la première.
Tableau A — on calcule chaque quotient :
- 2,253 = 0,75
- 34 = 0,75
- 6,759 = 0,75
- 8,2511 = 0,75
Tous les quotients sont égaux à 0,75.
Le tableau A est un tableau de proportionnalité, de coefficient 0,75.
Tableau B — on calcule de même :
- 9,64 = 2,4
- 16,46 ≈ 2,733
- 16,87 = 2,4
- 28,812 = 2,4
Les quotients ne sont pas tous égaux : la première colonne donne 2,4, alors que la colonne « 6 » donne 2,733.
Le tableau B n'est pas un tableau de proportionnalité.
Astuce : il suffit de deux quotients différents pour conclure que le tableau n'est pas proportionnel. En revanche, pour affirmer qu'il l'est, il faut vérifier toutes les colonnes.
Exercice 2 — Correction
Méthode 1 — le passage par l'unité. On calcule d'abord la valeur pour 1, puis on multiplie par la quantité voulue. C'est la méthode la plus sûre.
1. Prix d'une seule cartouche d'encre :
43,757 = 6,25
Une cartouche d'encre coûte 6,25 €.
2. Prix de 20 cartouches d'encre : on multiplie le prix unitaire par 20.
6,25 × 20 = 125,00
20 cartouches d'encre coûtent 125 €.
Méthode 2 — le produit en croix. Dans un tableau de proportionnalité, les produits en croix sont égaux : le prix cherché vaut 43,75 × 207 = 125,00, ce qui donne bien le même résultat.
3. Tableau complété :
| Nombre de cartouches d'encre | 7 | 1 | 20 | 100 |
|---|
| Prix (en €) | 43,75 | 6,25 | 125,00 | 625,00 |
Le coefficient de proportionnalité de ce tableau est 6,25 : c'est le prix d'une cartouche d'encre, en €.
Exercice 3 — Correction
Prendre t % d'une quantité, c'est la multiplier par t100. Un pourcentage est une fraction de dénominateur 100 : c'est une situation de proportionnalité.
1. On cherche 15 % de 500 :
500 × 15100 = 500 × 15100 = 75
Il y a 75 abonnés.
Calculer le pourcentage que représente une part : on divise la part par le total, puis on multiplie par 100.
2. La part est 48 sur 300 :
48300 × 100 = 0,16 × 100 = 16
Cela représente 16 % des spectateurs.
Retrouver le total connaissant la part et le taux : on divise la part par le taux, puis on multiplie par 100 (on « remonte » le pourcentage).
3. 16 représentent 4 % du total :
16 × 1004 = 400
L'effectif total est de 400 spectateurs.
Vérification (à faire systématiquement) : 4 % de 400, c'est 400 × 0,04 = 16. C'est bien la part de départ.
Exercice 4 — Correction
Coefficient multiplicateur. Augmenter de t %, c'est multiplier par 1 + t100. Diminuer de t %, c'est multiplier par 1 − t100. Une seule multiplication remplace le calcul de la part puis l'addition : c'est plus rapide et moins risqué.
1. Augmentation de 8 % : le coefficient multiplicateur est
1 + 8100 = 1 + 0,08 = 1,08
240 × 1,08 = 259,20
Le nouveau prix d'un smartphone est de 259,20 €.
2. Diminution de 20 % : le coefficient multiplicateur est
1 − 20100 = 1 − 0,2 = 0,8
300 × 0,8 = 240,00
Le prix soldé d'une guitare est de 240 €.
Piège classique : une baisse de 20 % ne se « rattrape » pas par une hausse de 20 %. Reprendre 240 et l'augmenter de 20 % donne 288, et non 300.
3. On calcule d'abord le coefficient multiplicateur, en divisant le prix d'arrivée par le prix de départ :
75,0060 = 1,25
On compare ce coefficient à 1 :
1,25 − 1 = 0,25, soit 25 %
Le taux d'évolution est de 25 %, il s'agit d'une hausse.
À retenir : un coefficient supérieur à 1 signale une hausse, un coefficient inférieur à 1 une baisse. Le taux d'évolution s'obtient toujours en retranchant 1 au coefficient, puis en convertissant en pourcentage.
Exercice 5 — Correction
Une échelle 1 / 20 000 signifie que 1 cm sur la carte représente 20 000 cm dans la réalité. Distance sur la carte et distance réelle sont proportionnelles.
1. On multiplie la distance sur la carte par 20 000 :
7,2 × 20 000 = 144 000 cm
On convertit en km (1 km = 100 000 cm) :
144 000100 000 = 1,44
La distance réelle est de 1,44 km.
2. 4,5 km = 450 000 cm. On divise par 20 000 :
450 00020 000 = 22,5
Sur la carte, ces deux lieux sont distants de 22,5 cm.
3.
Oui : pour passer de la carte à la réalité, on multiplie toujours par le même nombre, 20 000. C'est le coefficient de proportionnalité.
Erreur fréquente : oublier la conversion. L'échelle relie des cm à des cm. Il faut convertir en km seulement à la fin (1 km = 100 000 cm).
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