Exercice 1 — Correction
Un tableau est un tableau de proportionnalité lorsque l'on passe de la première ligne à la seconde en multipliant toujours par le même nombre. Ce nombre est le coefficient de proportionnalité : on le retrouve en divisant chaque valeur de la seconde ligne par la valeur correspondante de la première.
Tableau A — on calcule chaque quotient :
- 2,52 = 1,25
- 3,753 = 1,25
- 7,56 = 1,25
- 12,510 = 1,25
Tous les quotients sont égaux à 1,25.
Le tableau A est un tableau de proportionnalité, de coefficient 1,25.
Tableau B — on calcule de même :
- 62 = 3
- 155 = 3
- 186 = 3
- 3511 ≈ 3,182
Les quotients ne sont pas tous égaux : la première colonne donne 3, alors que la colonne « 11 » donne 3,182.
Le tableau B n'est pas un tableau de proportionnalité.
Astuce : il suffit de deux quotients différents pour conclure que le tableau n'est pas proportionnel. En revanche, pour affirmer qu'il l'est, il faut vérifier toutes les colonnes.
Exercice 2 — Correction
Méthode 1 — le passage par l'unité. On calcule d'abord la valeur pour 1, puis on multiplie par la quantité voulue. C'est la méthode la plus sûre.
1. Prix d'un seul cahier :
16,8012 = 1,40
Un cahier coûte 1,40 €.
2. Prix de 31 cahiers : on multiplie le prix unitaire par 31.
1,40 × 31 = 43,40
31 cahiers coûtent 43,40 €.
Méthode 2 — le produit en croix. Dans un tableau de proportionnalité, les produits en croix sont égaux : le prix cherché vaut 16,80 × 3112 = 43,40, ce qui donne bien le même résultat.
3. Tableau complété :
| Nombre de cahiers | 12 | 1 | 31 | 100 |
|---|
| Prix (en €) | 16,80 | 1,40 | 43,40 | 140,00 |
Le coefficient de proportionnalité de ce tableau est 1,40 : c'est le prix d'un cahier, en €.
Exercice 3 — Correction
Prendre t % d'une quantité, c'est la multiplier par t100. Un pourcentage est une fraction de dénominateur 100 : c'est une situation de proportionnalité.
1. On cherche 25 % de 160 :
160 × 25100 = 160 × 25100 = 40
Il y a 40 moins de 20 ans.
Calculer le pourcentage que représente une part : on divise la part par le total, puis on multiplie par 100.
2. La part est 320 sur 500 :
320500 × 100 = 0,64 × 100 = 64
Cela représente 64 % des habitants.
Retrouver le total connaissant la part et le taux : on divise la part par le taux, puis on multiplie par 100 (on « remonte » le pourcentage).
3. 20 représentent 10 % du total :
20 × 10010 = 200
L'effectif total est de 200 habitants.
Vérification (à faire systématiquement) : 10 % de 200, c'est 200 × 0,1 = 20. C'est bien la part de départ.
Exercice 4 — Correction
Coefficient multiplicateur. Augmenter de t %, c'est multiplier par 1 + t100. Diminuer de t %, c'est multiplier par 1 − t100. Une seule multiplication remplace le calcul de la part puis l'addition : c'est plus rapide et moins risqué.
1. Augmentation de 8 % : le coefficient multiplicateur est
1 + 8100 = 1 + 0,08 = 1,08
250 × 1,08 = 270,00
Le nouveau prix d'une console de jeu est de 270 €.
2. Diminution de 40 % : le coefficient multiplicateur est
1 − 40100 = 1 − 0,4 = 0,6
50 × 0,6 = 30,00
Le prix soldé d'un vélo est de 30 €.
Piège classique : une baisse de 40 % ne se « rattrape » pas par une hausse de 40 %. Reprendre 30 et l'augmenter de 40 % donne 42, et non 50.
3. On calcule d'abord le coefficient multiplicateur, en divisant le prix d'arrivée par le prix de départ :
48,0040 = 1,2
On compare ce coefficient à 1 :
1,2 − 1 = 0,2, soit 20 %
Le taux d'évolution est de 20 %, il s'agit d'une hausse.
À retenir : un coefficient supérieur à 1 signale une hausse, un coefficient inférieur à 1 une baisse. Le taux d'évolution s'obtient toujours en retranchant 1 au coefficient, puis en convertissant en pourcentage.
Exercice 5 — Correction
La vitesse moyenne est une grandeur composée : v = distancedurée. Distance et durée sont proportionnelles, le coefficient de proportionnalité est la vitesse. Attention aux unités : des km et des h donnent des km/h.
1. On divise la distance par la durée :
v = 2343,25 = 72
La vitesse moyenne est de 72 km/h.
2. En 0 h 30 min, soit 0,5 h :
d = 72 × 0,5 = 36
Le train parcourt 36 km.
3. Pour 216 km :
t = 21672 = 3
Il lui faut 3 h.
Conversion utile : une durée décimale se convertit en minutes en multipliant la partie décimale par 60 (0,25 h = 15 min ; 0,5 h = 30 min ; 0,75 h = 45 min).
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