Exercice 1 — Correction
Un tableau est un tableau de proportionnalité lorsque l'on passe de la première ligne à la seconde en multipliant toujours par le même nombre. Ce nombre est le coefficient de proportionnalité : on le retrouve en divisant chaque valeur de la seconde ligne par la valeur correspondante de la première.
Tableau A — on calcule chaque quotient :
- 0,52 = 0,25
- 2,259 = 0,25
- 312 = 0,25
- 3,514 = 0,25
Tous les quotients sont égaux à 0,25.
Le tableau A est un tableau de proportionnalité, de coefficient 0,25.
Tableau B — on calcule de même :
- 72 = 3,5
- 10,53 = 3,5
- 29,58 ≈ 3,688
- 31,59 = 3,5
Les quotients ne sont pas tous égaux : la première colonne donne 3,5, alors que la colonne « 8 » donne 3,688.
Le tableau B n'est pas un tableau de proportionnalité.
Astuce : il suffit de deux quotients différents pour conclure que le tableau n'est pas proportionnel. En revanche, pour affirmer qu'il l'est, il faut vérifier toutes les colonnes.
Exercice 2 — Correction
Méthode 1 — le passage par l'unité. On calcule d'abord la valeur pour 1, puis on multiplie par la quantité voulue. C'est la méthode la plus sûre.
1. Prix d'un seul cahier :
6,7515 = 0,45
Un cahier coûte 0,45 €.
2. Prix de 18 cahiers : on multiplie le prix unitaire par 18.
0,45 × 18 = 8,10
18 cahiers coûtent 8,10 €.
Méthode 2 — le produit en croix. Dans un tableau de proportionnalité, les produits en croix sont égaux : le prix cherché vaut 6,75 × 1815 = 8,10, ce qui donne bien le même résultat.
3. Tableau complété :
| Nombre de cahiers | 15 | 1 | 18 | 100 |
|---|
| Prix (en €) | 6,75 | 0,45 | 8,10 | 45,00 |
Le coefficient de proportionnalité de ce tableau est 0,45 : c'est le prix d'un cahier, en €.
Exercice 3 — Correction
Prendre t % d'une quantité, c'est la multiplier par t100. Un pourcentage est une fraction de dénominateur 100 : c'est une situation de proportionnalité.
1. On cherche 20 % de 120 :
120 × 20100 = 120 × 20100 = 24
Il y a 24 abonnés.
Calculer le pourcentage que représente une part : on divise la part par le total, puis on multiplie par 100.
2. La part est 312 sur 600 :
312600 × 100 = 0,52 × 100 = 52
Cela représente 52 % des spectateurs.
Retrouver le total connaissant la part et le taux : on divise la part par le taux, puis on multiplie par 100 (on « remonte » le pourcentage).
3. 14 représentent 4 % du total :
14 × 1004 = 350
L'effectif total est de 350 spectateurs.
Vérification (à faire systématiquement) : 4 % de 350, c'est 350 × 0,04 = 14. C'est bien la part de départ.
Exercice 4 — Correction
Coefficient multiplicateur. Augmenter de t %, c'est multiplier par 1 + t100. Diminuer de t %, c'est multiplier par 1 − t100. Une seule multiplication remplace le calcul de la part puis l'addition : c'est plus rapide et moins risqué.
1. Augmentation de 20 % : le coefficient multiplicateur est
1 + 20100 = 1 + 0,2 = 1,2
40 × 1,2 = 48,00
Le nouveau prix d'une console de jeu est de 48 €.
2. Diminution de 20 % : le coefficient multiplicateur est
1 − 20100 = 1 − 0,2 = 0,8
125 × 0,8 = 100,00
Le prix soldé d'un casque audio est de 100 €.
Piège classique : une baisse de 20 % ne se « rattrape » pas par une hausse de 20 %. Reprendre 100 et l'augmenter de 20 % donne 120, et non 125.
3. On calcule d'abord le coefficient multiplicateur, en divisant le prix d'arrivée par le prix de départ :
180,00150 = 1,2
On compare ce coefficient à 1 :
1,2 − 1 = 0,2, soit 20 %
Le taux d'évolution est de 20 %, il s'agit d'une hausse.
À retenir : un coefficient supérieur à 1 signale une hausse, un coefficient inférieur à 1 une baisse. Le taux d'évolution s'obtient toujours en retranchant 1 au coefficient, puis en convertissant en pourcentage.
Exercice 5 — Correction
Le débit est une grandeur composée : débit = volumedurée. Le volume écoulé est proportionnel à la durée, et le débit est le coefficient de proportionnalité.
1. On divise le volume par la durée :
36018 = 20
Le débit du robinet est de 20 L/min.
2. En 60 min :
20 × 60 = 1200
Il coule 1200 L.
3. Pour 2000 L :
200020 = 100
Il faut 100 min, soit 1 h 40 min.
Vigilance sur les unités : un débit en L/min multiplié par une durée en minutes donne bien des litres. Si la durée est donnée en heures, il faut d'abord la convertir en minutes.
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