Exercice 1 — Correction
Un tableau est un tableau de proportionnalité lorsque l'on passe de la première ligne à la seconde en multipliant toujours par le même nombre. Ce nombre est le coefficient de proportionnalité : on le retrouve en divisant chaque valeur de la seconde ligne par la valeur correspondante de la première.
Tableau A — on calcule chaque quotient :
- 93 = 3
- 217 = 3
- 3612 = 3
- 4214 = 3
Tous les quotients sont égaux à 3.
Le tableau A est un tableau de proportionnalité, de coefficient 3.
Tableau B — on calcule de même :
- 82 = 4
- 174 = 4,25
- 328 = 4
- 4812 = 4
Les quotients ne sont pas tous égaux : la première colonne donne 4, alors que la colonne « 4 » donne 4,25.
Le tableau B n'est pas un tableau de proportionnalité.
Astuce : il suffit de deux quotients différents pour conclure que le tableau n'est pas proportionnel. En revanche, pour affirmer qu'il l'est, il faut vérifier toutes les colonnes.
Exercice 2 — Correction
Méthode 1 — le passage par l'unité. On calcule d'abord la valeur pour 1, puis on multiplie par la quantité voulue. C'est la méthode la plus sûre.
1. Prix d'un seul stylo :
15,4011 = 1,40
Un stylo coûte 1,40 €.
2. Prix de 34 stylos : on multiplie le prix unitaire par 34.
1,40 × 34 = 47,60
34 stylos coûtent 47,60 €.
Méthode 2 — le produit en croix. Dans un tableau de proportionnalité, les produits en croix sont égaux : le prix cherché vaut 15,40 × 3411 = 47,60, ce qui donne bien le même résultat.
3. Tableau complété :
| Nombre de stylos | 11 | 1 | 34 | 100 |
|---|
| Prix (en €) | 15,40 | 1,40 | 47,60 | 140,00 |
Le coefficient de proportionnalité de ce tableau est 1,40 : c'est le prix d'un stylo, en €.
Exercice 3 — Correction
Prendre t % d'une quantité, c'est la multiplier par t100. Un pourcentage est une fraction de dénominateur 100 : c'est une situation de proportionnalité.
1. On cherche 30 % de 180 :
180 × 30100 = 180 × 30100 = 54
Il y a 54 venus en train.
Calculer le pourcentage que représente une part : on divise la part par le total, puis on multiplie par 100.
2. La part est 144 sur 600 :
144600 × 100 = 0,24 × 100 = 24
Cela représente 24 % des festivaliers.
Retrouver le total connaissant la part et le taux : on divise la part par le taux, puis on multiplie par 100 (on « remonte » le pourcentage).
3. 60 représentent 15 % du total :
60 × 10015 = 400
L'effectif total est de 400 festivaliers.
Vérification (à faire systématiquement) : 15 % de 400, c'est 400 × 0,15 = 60. C'est bien la part de départ.
Exercice 4 — Correction
Coefficient multiplicateur. Augmenter de t %, c'est multiplier par 1 + t100. Diminuer de t %, c'est multiplier par 1 − t100. Une seule multiplication remplace le calcul de la part puis l'addition : c'est plus rapide et moins risqué.
1. Augmentation de 25 % : le coefficient multiplicateur est
1 + 25100 = 1 + 0,25 = 1,25
250 × 1,25 = 312,50
Le nouveau prix d'une trottinette est de 312,50 €.
2. Diminution de 20 % : le coefficient multiplicateur est
1 − 20100 = 1 − 0,2 = 0,8
75 × 0,8 = 60,00
Le prix soldé d'un smartphone est de 60 €.
Piège classique : une baisse de 20 % ne se « rattrape » pas par une hausse de 20 %. Reprendre 60 et l'augmenter de 20 % donne 72, et non 75.
3. On calcule d'abord le coefficient multiplicateur, en divisant le prix d'arrivée par le prix de départ :
48,0080 = 0,6
On compare ce coefficient à 1 :
0,6 − 1 = −0,4, soit −40 %
Le taux d'évolution est de 40 %, il s'agit d'une baisse.
À retenir : un coefficient supérieur à 1 signale une hausse, un coefficient inférieur à 1 une baisse. Le taux d'évolution s'obtient toujours en retranchant 1 au coefficient, puis en convertissant en pourcentage.
Exercice 5 — Correction
Le débit est une grandeur composée : débit = volumedurée. Le volume écoulé est proportionnel à la durée, et le débit est le coefficient de proportionnalité.
1. On divise le volume par la durée :
408 = 5
Le débit du robinet est de 5 L/min.
2. En 40 min :
5 × 40 = 200
Il coule 200 L.
3. Pour 500 L :
5005 = 100
Il faut 100 min, soit 1 h 40 min.
Vigilance sur les unités : un débit en L/min multiplié par une durée en minutes donne bien des litres. Si la durée est donnée en heures, il faut d'abord la convertir en minutes.
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