Exercice 1 — Correction
Un tableau est un tableau de proportionnalité lorsque l'on passe de la première ligne à la seconde en multipliant toujours par le même nombre. Ce nombre est le coefficient de proportionnalité : on le retrouve en divisant chaque valeur de la seconde ligne par la valeur correspondante de la première.
Tableau A — on calcule chaque quotient :
- 2,43 = 0,8
- 4,86 = 0,8
- 5,67 = 0,8
- 10,413 = 0,8
Tous les quotients sont égaux à 0,8.
Le tableau A est un tableau de proportionnalité, de coefficient 0,8.
Tableau B — on calcule de même :
- 52 = 2,5
- 166 ≈ 2,667
- 17,57 = 2,5
- 22,59 = 2,5
Les quotients ne sont pas tous égaux : la première colonne donne 2,5, alors que la colonne « 6 » donne 2,667.
Le tableau B n'est pas un tableau de proportionnalité.
Astuce : il suffit de deux quotients différents pour conclure que le tableau n'est pas proportionnel. En revanche, pour affirmer qu'il l'est, il faut vérifier toutes les colonnes.
Exercice 2 — Correction
Méthode 1 — le passage par l'unité. On calcule d'abord la valeur pour 1, puis on multiplie par la quantité voulue. C'est la méthode la plus sûre.
1. Prix d'un seul sachet de croquettes :
59,4011 = 5,40
Un sachet de croquettes coûte 5,40 €.
2. Prix de 27 sachets de croquettes : on multiplie le prix unitaire par 27.
5,40 × 27 = 145,80
27 sachets de croquettes coûtent 145,80 €.
Méthode 2 — le produit en croix. Dans un tableau de proportionnalité, les produits en croix sont égaux : le prix cherché vaut 59,40 × 2711 = 145,80, ce qui donne bien le même résultat.
3. Tableau complété :
| Nombre de sachets de croquettes | 11 | 1 | 27 | 100 |
|---|
| Prix (en €) | 59,40 | 5,40 | 145,80 | 540,00 |
Le coefficient de proportionnalité de ce tableau est 5,40 : c'est le prix d'un sachet de croquettes, en €.
Exercice 3 — Correction
Prendre t % d'une quantité, c'est la multiplier par t100. Un pourcentage est une fraction de dénominateur 100 : c'est une situation de proportionnalité.
1. On cherche 5 % de 200 :
200 × 5100 = 200 × 5100 = 10
Il y a 10 moins de 20 ans.
Calculer le pourcentage que représente une part : on divise la part par le total, puis on multiplie par 100.
2. La part est 240 sur 750 :
240750 × 100 = 0,32 × 100 = 32
Cela représente 32 % des habitants.
Retrouver le total connaissant la part et le taux : on divise la part par le taux, puis on multiplie par 100 (on « remonte » le pourcentage).
3. 30 représentent 15 % du total :
30 × 10015 = 200
L'effectif total est de 200 habitants.
Vérification (à faire systématiquement) : 15 % de 200, c'est 200 × 0,15 = 30. C'est bien la part de départ.
Exercice 4 — Correction
Coefficient multiplicateur. Augmenter de t %, c'est multiplier par 1 + t100. Diminuer de t %, c'est multiplier par 1 − t100. Une seule multiplication remplace le calcul de la part puis l'addition : c'est plus rapide et moins risqué.
1. Augmentation de 20 % : le coefficient multiplicateur est
1 + 20100 = 1 + 0,2 = 1,2
180 × 1,2 = 216,00
Le nouveau prix d'un appareil photo est de 216 €.
2. Diminution de 25 % : le coefficient multiplicateur est
1 − 25100 = 1 − 0,25 = 0,75
200 × 0,75 = 150,00
Le prix soldé d'un smartphone est de 150 €.
Piège classique : une baisse de 25 % ne se « rattrape » pas par une hausse de 25 %. Reprendre 150 et l'augmenter de 25 % donne 187,5, et non 200.
3. On calcule d'abord le coefficient multiplicateur, en divisant le prix d'arrivée par le prix de départ :
24,0040 = 0,6
On compare ce coefficient à 1 :
0,6 − 1 = −0,4, soit −40 %
Le taux d'évolution est de 40 %, il s'agit d'une baisse.
À retenir : un coefficient supérieur à 1 signale une hausse, un coefficient inférieur à 1 une baisse. Le taux d'évolution s'obtient toujours en retranchant 1 au coefficient, puis en convertissant en pourcentage.
Exercice 5 — Correction
La vitesse moyenne est une grandeur composée : v = distancedurée. Distance et durée sont proportionnelles, le coefficient de proportionnalité est la vitesse. Attention aux unités : des km et des h donnent des km/h.
1. On divise la distance par la durée :
v = 3244,5 = 72
La vitesse moyenne est de 72 km/h.
2. En 1 h 30 min, soit 1,5 h :
d = 72 × 1,5 = 108
Le train parcourt 108 km.
3. Pour 216 km :
t = 21672 = 3
Il lui faut 3 h.
Conversion utile : une durée décimale se convertit en minutes en multipliant la partie décimale par 60 (0,25 h = 15 min ; 0,5 h = 30 min ; 0,75 h = 45 min).
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