Exercice 1 — Correction
Un tableau est un tableau de proportionnalité lorsque l'on passe de la première ligne à la seconde en multipliant toujours par le même nombre. Ce nombre est le coefficient de proportionnalité : on le retrouve en divisant chaque valeur de la seconde ligne par la valeur correspondante de la première.
Tableau A — on calcule chaque quotient :
- 7,55 = 1,5
- 10,57 = 1,5
- 128 = 1,5
- 16,511 = 1,5
Tous les quotients sont égaux à 1,5.
Le tableau A est un tableau de proportionnalité, de coefficient 1,5.
Tableau B — on calcule de même :
- 7,56 = 1,25
- 108 = 1,25
- 16,7511 ≈ 1,523
- 17,514 = 1,25
Les quotients ne sont pas tous égaux : la première colonne donne 1,25, alors que la colonne « 11 » donne 1,523.
Le tableau B n'est pas un tableau de proportionnalité.
Astuce : il suffit de deux quotients différents pour conclure que le tableau n'est pas proportionnel. En revanche, pour affirmer qu'il l'est, il faut vérifier toutes les colonnes.
Exercice 2 — Correction
Méthode 1 — le passage par l'unité. On calcule d'abord la valeur pour 1, puis on multiplie par la quantité voulue. C'est la méthode la plus sûre.
1. Prix d'un seul sachet de croquettes :
44,8014 = 3,20
Un sachet de croquettes coûte 3,20 €.
2. Prix de 25 sachets de croquettes : on multiplie le prix unitaire par 25.
3,20 × 25 = 80,00
25 sachets de croquettes coûtent 80 €.
Méthode 2 — le produit en croix. Dans un tableau de proportionnalité, les produits en croix sont égaux : le prix cherché vaut 44,80 × 2514 = 80,00, ce qui donne bien le même résultat.
3. Tableau complété :
| Nombre de sachets de croquettes | 14 | 1 | 25 | 100 |
|---|
| Prix (en €) | 44,80 | 3,20 | 80,00 | 320,00 |
Le coefficient de proportionnalité de ce tableau est 3,20 : c'est le prix d'un sachet de croquettes, en €.
Exercice 3 — Correction
Prendre t % d'une quantité, c'est la multiplier par t100. Un pourcentage est une fraction de dénominateur 100 : c'est une situation de proportionnalité.
1. On cherche 10 % de 360 :
360 × 10100 = 360 × 10100 = 36
Il y a 36 internes.
Calculer le pourcentage que représente une part : on divise la part par le total, puis on multiplie par 100.
2. La part est 32 sur 200 :
32200 × 100 = 0,16 × 100 = 16
Cela représente 16 % des élèves.
Retrouver le total connaissant la part et le taux : on divise la part par le taux, puis on multiplie par 100 (on « remonte » le pourcentage).
3. 32 représentent 8 % du total :
32 × 1008 = 400
L'effectif total est de 400 élèves.
Vérification (à faire systématiquement) : 8 % de 400, c'est 400 × 0,08 = 32. C'est bien la part de départ.
Exercice 4 — Correction
Coefficient multiplicateur. Augmenter de t %, c'est multiplier par 1 + t100. Diminuer de t %, c'est multiplier par 1 − t100. Une seule multiplication remplace le calcul de la part puis l'addition : c'est plus rapide et moins risqué.
1. Augmentation de 5 % : le coefficient multiplicateur est
1 + 5100 = 1 + 0,05 = 1,05
40 × 1,05 = 42,00
Le nouveau prix d'une console de jeu est de 42 €.
2. Diminution de 10 % : le coefficient multiplicateur est
1 − 10100 = 1 − 0,1 = 0,9
240 × 0,9 = 216,00
Le prix soldé d'une console de jeu est de 216 €.
Piège classique : une baisse de 10 % ne se « rattrape » pas par une hausse de 10 %. Reprendre 216 et l'augmenter de 10 % donne 237,6, et non 240.
3. On calcule d'abord le coefficient multiplicateur, en divisant le prix d'arrivée par le prix de départ :
150,00250 = 0,6
On compare ce coefficient à 1 :
0,6 − 1 = −0,4, soit −40 %
Le taux d'évolution est de 40 %, il s'agit d'une baisse.
À retenir : un coefficient supérieur à 1 signale une hausse, un coefficient inférieur à 1 une baisse. Le taux d'évolution s'obtient toujours en retranchant 1 au coefficient, puis en convertissant en pourcentage.
Exercice 5 — Correction
La vitesse moyenne est une grandeur composée : v = distancedurée. Distance et durée sont proportionnelles, le coefficient de proportionnalité est la vitesse. Attention aux unités : des km et des h donnent des km/h.
1. On divise la distance par la durée :
v = 2161,5 = 144
La vitesse moyenne est de 144 km/h.
2. En 1 h, soit 1 h :
d = 144 × 1 = 144
Le train parcourt 144 km.
3. Pour 432 km :
t = 432144 = 3
Il lui faut 3 h.
Conversion utile : une durée décimale se convertit en minutes en multipliant la partie décimale par 60 (0,25 h = 15 min ; 0,5 h = 30 min ; 0,75 h = 45 min).
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