Exercice 1 — Correction
Un tableau est un tableau de proportionnalité lorsque l'on passe de la première ligne à la seconde en multipliant toujours par le même nombre. Ce nombre est le coefficient de proportionnalité : on le retrouve en divisant chaque valeur de la seconde ligne par la valeur correspondante de la première.
Tableau A — on calcule chaque quotient :
- 42 = 2
- 84 = 2
- 105 = 2
- 168 = 2
Tous les quotients sont égaux à 2.
Le tableau A est un tableau de proportionnalité, de coefficient 2.
Tableau B — on calcule de même :
- 288 = 3,5
- 4212 = 3,5
- 45,513 = 3,5
- 5014 ≈ 3,571
Les quotients ne sont pas tous égaux : la première colonne donne 3,5, alors que la colonne « 14 » donne 3,571.
Le tableau B n'est pas un tableau de proportionnalité.
Astuce : il suffit de deux quotients différents pour conclure que le tableau n'est pas proportionnel. En revanche, pour affirmer qu'il l'est, il faut vérifier toutes les colonnes.
Exercice 2 — Correction
Méthode 1 — le passage par l'unité. On calcule d'abord la valeur pour 1, puis on multiplie par la quantité voulue. C'est la méthode la plus sûre.
1. Prix d'une seule place de cinéma :
16,005 = 3,20
Une place de cinéma coûte 3,20 €.
2. Prix de 38 places de cinéma : on multiplie le prix unitaire par 38.
3,20 × 38 = 121,60
38 places de cinéma coûtent 121,60 €.
Méthode 2 — le produit en croix. Dans un tableau de proportionnalité, les produits en croix sont égaux : le prix cherché vaut 16,00 × 385 = 121,60, ce qui donne bien le même résultat.
3. Tableau complété :
| Nombre de places de cinéma | 5 | 1 | 38 | 100 |
|---|
| Prix (en €) | 16,00 | 3,20 | 121,60 | 320,00 |
Le coefficient de proportionnalité de ce tableau est 3,20 : c'est le prix d'une place de cinéma, en €.
Exercice 3 — Correction
Prendre t % d'une quantité, c'est la multiplier par t100. Un pourcentage est une fraction de dénominateur 100 : c'est une situation de proportionnalité.
1. On cherche 25 % de 300 :
300 × 25100 = 300 × 25100 = 75
Il y a 75 à temps partiel.
Calculer le pourcentage que représente une part : on divise la part par le total, puis on multiplie par 100.
2. La part est 70 sur 250 :
70250 × 100 = 0,28 × 100 = 28
Cela représente 28 % des salariés.
Retrouver le total connaissant la part et le taux : on divise la part par le taux, puis on multiplie par 100 (on « remonte » le pourcentage).
3. 150 représentent 25 % du total :
150 × 10025 = 600
L'effectif total est de 600 salariés.
Vérification (à faire systématiquement) : 25 % de 600, c'est 600 × 0,25 = 150. C'est bien la part de départ.
Exercice 4 — Correction
Coefficient multiplicateur. Augmenter de t %, c'est multiplier par 1 + t100. Diminuer de t %, c'est multiplier par 1 − t100. Une seule multiplication remplace le calcul de la part puis l'addition : c'est plus rapide et moins risqué.
1. Augmentation de 20 % : le coefficient multiplicateur est
1 + 20100 = 1 + 0,2 = 1,2
320 × 1,2 = 384,00
Le nouveau prix d'une trottinette est de 384 €.
2. Diminution de 20 % : le coefficient multiplicateur est
1 − 20100 = 1 − 0,2 = 0,8
240 × 0,8 = 192,00
Le prix soldé d'un smartphone est de 192 €.
Piège classique : une baisse de 20 % ne se « rattrape » pas par une hausse de 20 %. Reprendre 192 et l'augmenter de 20 % donne 230,4, et non 240.
3. On calcule d'abord le coefficient multiplicateur, en divisant le prix d'arrivée par le prix de départ :
102,00120 = 0,85
On compare ce coefficient à 1 :
0,85 − 1 = −0,15, soit −15 %
Le taux d'évolution est de 15 %, il s'agit d'une baisse.
À retenir : un coefficient supérieur à 1 signale une hausse, un coefficient inférieur à 1 une baisse. Le taux d'évolution s'obtient toujours en retranchant 1 au coefficient, puis en convertissant en pourcentage.
Exercice 5 — Correction
Une échelle 1 / 200 000 signifie que 1 cm sur la carte représente 200 000 cm dans la réalité. Distance sur la carte et distance réelle sont proportionnelles.
1. On multiplie la distance sur la carte par 200 000 :
6 × 200 000 = 1 200 000 cm
On convertit en km (1 km = 100 000 cm) :
1 200 000100 000 = 12
La distance réelle est de 12 km.
2. 6 km = 600 000 cm. On divise par 200 000 :
600 000200 000 = 3
Sur la carte, ces deux lieux sont distants de 3 cm.
3.
Oui : pour passer de la carte à la réalité, on multiplie toujours par le même nombre, 200 000. C'est le coefficient de proportionnalité.
Erreur fréquente : oublier la conversion. L'échelle relie des cm à des cm. Il faut convertir en km seulement à la fin (1 km = 100 000 cm).
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