Exercice 1 — Correction
Un tableau est un tableau de proportionnalité lorsque l'on passe de la première ligne à la seconde en multipliant toujours par le même nombre. Ce nombre est le coefficient de proportionnalité : on le retrouve en divisant chaque valeur de la seconde ligne par la valeur correspondante de la première.
Tableau A — on calcule chaque quotient :
- 10,53 = 3,5
- 24,57 = 3,5
- 31,59 = 3,5
- 4914 = 3,5
Tous les quotients sont égaux à 3,5.
Le tableau A est un tableau de proportionnalité, de coefficient 3,5.
Tableau B — on calcule de même :
- 6,759 = 0,75
- 10,2511 ≈ 0,932
- 912 = 0,75
- 9,7513 = 0,75
Les quotients ne sont pas tous égaux : la première colonne donne 0,75, alors que la colonne « 11 » donne 0,932.
Le tableau B n'est pas un tableau de proportionnalité.
Astuce : il suffit de deux quotients différents pour conclure que le tableau n'est pas proportionnel. En revanche, pour affirmer qu'il l'est, il faut vérifier toutes les colonnes.
Exercice 2 — Correction
Méthode 1 — le passage par l'unité. On calcule d'abord la valeur pour 1, puis on multiplie par la quantité voulue. C'est la méthode la plus sûre.
1. Prix d'une seule cartouche d'encre :
7,506 = 1,25
Une cartouche d'encre coûte 1,25 €.
2. Prix de 31 cartouches d'encre : on multiplie le prix unitaire par 31.
1,25 × 31 = 38,75
31 cartouches d'encre coûtent 38,75 €.
Méthode 2 — le produit en croix. Dans un tableau de proportionnalité, les produits en croix sont égaux : le prix cherché vaut 7,50 × 316 = 38,75, ce qui donne bien le même résultat.
3. Tableau complété :
| Nombre de cartouches d'encre | 6 | 1 | 31 | 100 |
|---|
| Prix (en €) | 7,50 | 1,25 | 38,75 | 125,00 |
Le coefficient de proportionnalité de ce tableau est 1,25 : c'est le prix d'une cartouche d'encre, en €.
Exercice 3 — Correction
Prendre t % d'une quantité, c'est la multiplier par t100. Un pourcentage est une fraction de dénominateur 100 : c'est une situation de proportionnalité.
1. On cherche 35 % de 260 :
260 × 35100 = 260 × 35100 = 91
Il y a 91 romans.
Calculer le pourcentage que représente une part : on divise la part par le total, puis on multiplie par 100.
2. La part est 48 sur 200 :
48200 × 100 = 0,24 × 100 = 24
Cela représente 24 % des livres.
Retrouver le total connaissant la part et le taux : on divise la part par le taux, puis on multiplie par 100 (on « remonte » le pourcentage).
3. 75 représentent 25 % du total :
75 × 10025 = 300
L'effectif total est de 300 livres.
Vérification (à faire systématiquement) : 25 % de 300, c'est 300 × 0,25 = 75. C'est bien la part de départ.
Exercice 4 — Correction
Coefficient multiplicateur. Augmenter de t %, c'est multiplier par 1 + t100. Diminuer de t %, c'est multiplier par 1 − t100. Une seule multiplication remplace le calcul de la part puis l'addition : c'est plus rapide et moins risqué.
1. Augmentation de 8 % : le coefficient multiplicateur est
1 + 8100 = 1 + 0,08 = 1,08
80 × 1,08 = 86,40
Le nouveau prix d'une guitare est de 86,40 €.
2. Diminution de 10 % : le coefficient multiplicateur est
1 − 10100 = 1 − 0,1 = 0,9
50 × 0,9 = 45,00
Le prix soldé d'un smartphone est de 45 €.
Piège classique : une baisse de 10 % ne se « rattrape » pas par une hausse de 10 %. Reprendre 45 et l'augmenter de 10 % donne 49,5, et non 50.
3. On calcule d'abord le coefficient multiplicateur, en divisant le prix d'arrivée par le prix de départ :
165,00150 = 1,1
On compare ce coefficient à 1 :
1,1 − 1 = 0,1, soit 10 %
Le taux d'évolution est de 10 %, il s'agit d'une hausse.
À retenir : un coefficient supérieur à 1 signale une hausse, un coefficient inférieur à 1 une baisse. Le taux d'évolution s'obtient toujours en retranchant 1 au coefficient, puis en convertissant en pourcentage.
Exercice 5 — Correction
La vitesse moyenne est une grandeur composée : v = distancedurée. Distance et durée sont proportionnelles, le coefficient de proportionnalité est la vitesse. Attention aux unités : des km et des h donnent des km/h.
1. On divise la distance par la durée :
v = 3303 = 110
La vitesse moyenne est de 110 km/h.
2. En 1 h 30 min, soit 1,5 h :
d = 110 × 1,5 = 165
Le train parcourt 165 km.
3. Pour 330 km :
t = 330110 = 3
Il lui faut 3 h.
Conversion utile : une durée décimale se convertit en minutes en multipliant la partie décimale par 60 (0,25 h = 15 min ; 0,5 h = 30 min ; 0,75 h = 45 min).
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