Exercice 1 — Correction
Un tableau est un tableau de proportionnalité lorsque l'on passe de la première ligne à la seconde en multipliant toujours par le même nombre. Ce nombre est le coefficient de proportionnalité : on le retrouve en divisant chaque valeur de la seconde ligne par la valeur correspondante de la première.
Tableau A — on calcule chaque quotient :
- 3,63 = 1,2
- 8,47 = 1,2
- 14,412 = 1,2
- 15,613 = 1,2
Tous les quotients sont égaux à 1,2.
Le tableau A est un tableau de proportionnalité, de coefficient 1,2.
Tableau B — on calcule de même :
- 14 = 0,25
- 28 = 0,25
- 3,2513 = 0,25
- 6,514 ≈ 0,464
Les quotients ne sont pas tous égaux : la première colonne donne 0,25, alors que la colonne « 14 » donne 0,464.
Le tableau B n'est pas un tableau de proportionnalité.
Astuce : il suffit de deux quotients différents pour conclure que le tableau n'est pas proportionnel. En revanche, pour affirmer qu'il l'est, il faut vérifier toutes les colonnes.
Exercice 2 — Correction
Méthode 1 — le passage par l'unité. On calcule d'abord la valeur pour 1, puis on multiplie par la quantité voulue. C'est la méthode la plus sûre.
1. Prix d'une seule cartouche d'encre :
63,0014 = 4,50
Une cartouche d'encre coûte 4,50 €.
2. Prix de 40 cartouches d'encre : on multiplie le prix unitaire par 40.
4,50 × 40 = 180,00
40 cartouches d'encre coûtent 180 €.
Méthode 2 — le produit en croix. Dans un tableau de proportionnalité, les produits en croix sont égaux : le prix cherché vaut 63,00 × 4014 = 180,00, ce qui donne bien le même résultat.
3. Tableau complété :
| Nombre de cartouches d'encre | 14 | 1 | 40 | 100 |
|---|
| Prix (en €) | 63,00 | 4,50 | 180,00 | 450,00 |
Le coefficient de proportionnalité de ce tableau est 4,50 : c'est le prix d'une cartouche d'encre, en €.
Exercice 3 — Correction
Prendre t % d'une quantité, c'est la multiplier par t100. Un pourcentage est une fraction de dénominateur 100 : c'est une situation de proportionnalité.
1. On cherche 25 % de 260 :
260 × 25100 = 260 × 25100 = 65
Il y a 65 moins de 20 ans.
Calculer le pourcentage que représente une part : on divise la part par le total, puis on multiplie par 100.
2. La part est 48 sur 300 :
48300 × 100 = 0,16 × 100 = 16
Cela représente 16 % des habitants.
Retrouver le total connaissant la part et le taux : on divise la part par le taux, puis on multiplie par 100 (on « remonte » le pourcentage).
3. 45 représentent 10 % du total :
45 × 10010 = 450
L'effectif total est de 450 habitants.
Vérification (à faire systématiquement) : 10 % de 450, c'est 450 × 0,1 = 45. C'est bien la part de départ.
Exercice 4 — Correction
Coefficient multiplicateur. Augmenter de t %, c'est multiplier par 1 + t100. Diminuer de t %, c'est multiplier par 1 − t100. Une seule multiplication remplace le calcul de la part puis l'addition : c'est plus rapide et moins risqué.
1. Augmentation de 8 % : le coefficient multiplicateur est
1 + 8100 = 1 + 0,08 = 1,08
60 × 1,08 = 64,80
Le nouveau prix d'une guitare est de 64,80 €.
2. Diminution de 30 % : le coefficient multiplicateur est
1 − 30100 = 1 − 0,3 = 0,7
50 × 0,7 = 35,00
Le prix soldé d'un appareil photo est de 35 €.
Piège classique : une baisse de 30 % ne se « rattrape » pas par une hausse de 30 %. Reprendre 35 et l'augmenter de 30 % donne 45,5, et non 50.
3. On calcule d'abord le coefficient multiplicateur, en divisant le prix d'arrivée par le prix de départ :
32,0040 = 0,8
On compare ce coefficient à 1 :
0,8 − 1 = −0,2, soit −20 %
Le taux d'évolution est de 20 %, il s'agit d'une baisse.
À retenir : un coefficient supérieur à 1 signale une hausse, un coefficient inférieur à 1 une baisse. Le taux d'évolution s'obtient toujours en retranchant 1 au coefficient, puis en convertissant en pourcentage.
Exercice 5 — Correction
La vitesse moyenne est une grandeur composée : v = distancedurée. Distance et durée sont proportionnelles, le coefficient de proportionnalité est la vitesse. Attention aux unités : des km et des h donnent des km/h.
1. On divise la distance par la durée :
v = 1651,5 = 110
La vitesse moyenne est de 110 km/h.
2. En 1 h 30 min, soit 1,5 h :
d = 110 × 1,5 = 165
Le train parcourt 165 km.
3. Pour 330 km :
t = 330110 = 3
Il lui faut 3 h.
Conversion utile : une durée décimale se convertit en minutes en multipliant la partie décimale par 60 (0,25 h = 15 min ; 0,5 h = 30 min ; 0,75 h = 45 min).
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