Exercice 1 — Correction
Un tableau est un tableau de proportionnalité lorsque l'on passe de la première ligne à la seconde en multipliant toujours par le même nombre. Ce nombre est le coefficient de proportionnalité : on le retrouve en divisant chaque valeur de la seconde ligne par la valeur correspondante de la première.
Tableau A — on calcule chaque quotient :
- 84 = 2
- 147 = 2
- 189 = 2
- 2211 = 2
Tous les quotients sont égaux à 2.
Le tableau A est un tableau de proportionnalité, de coefficient 2.
Tableau B — on calcule de même :
- 279 = 3
- 3010 = 3
- 3311 = 3
- 3712 ≈ 3,083
Les quotients ne sont pas tous égaux : la première colonne donne 3, alors que la colonne « 12 » donne 3,083.
Le tableau B n'est pas un tableau de proportionnalité.
Astuce : il suffit de deux quotients différents pour conclure que le tableau n'est pas proportionnel. En revanche, pour affirmer qu'il l'est, il faut vérifier toutes les colonnes.
Exercice 2 — Correction
Méthode 1 — le passage par l'unité. On calcule d'abord la valeur pour 1, puis on multiplie par la quantité voulue. C'est la méthode la plus sûre.
1. Prix d'un seul cahier :
16,2513 = 1,25
Un cahier coûte 1,25 €.
2. Prix de 30 cahiers : on multiplie le prix unitaire par 30.
1,25 × 30 = 37,50
30 cahiers coûtent 37,50 €.
Méthode 2 — le produit en croix. Dans un tableau de proportionnalité, les produits en croix sont égaux : le prix cherché vaut 16,25 × 3013 = 37,50, ce qui donne bien le même résultat.
3. Tableau complété :
| Nombre de cahiers | 13 | 1 | 30 | 100 |
|---|
| Prix (en €) | 16,25 | 1,25 | 37,50 | 125,00 |
Le coefficient de proportionnalité de ce tableau est 1,25 : c'est le prix d'un cahier, en €.
Exercice 3 — Correction
Prendre t % d'une quantité, c'est la multiplier par t100. Un pourcentage est une fraction de dénominateur 100 : c'est une situation de proportionnalité.
1. On cherche 5 % de 300 :
300 × 5100 = 300 × 5100 = 15
Il y a 15 moins de 20 ans.
Calculer le pourcentage que représente une part : on divise la part par le total, puis on multiplie par 100.
2. La part est 390 sur 750 :
390750 × 100 = 0,52 × 100 = 52
Cela représente 52 % des habitants.
Retrouver le total connaissant la part et le taux : on divise la part par le taux, puis on multiplie par 100 (on « remonte » le pourcentage).
3. 6 représentent 4 % du total :
6 × 1004 = 150
L'effectif total est de 150 habitants.
Vérification (à faire systématiquement) : 4 % de 150, c'est 150 × 0,04 = 6. C'est bien la part de départ.
Exercice 4 — Correction
Coefficient multiplicateur. Augmenter de t %, c'est multiplier par 1 + t100. Diminuer de t %, c'est multiplier par 1 − t100. Une seule multiplication remplace le calcul de la part puis l'addition : c'est plus rapide et moins risqué.
1. Augmentation de 20 % : le coefficient multiplicateur est
1 + 20100 = 1 + 0,2 = 1,2
80 × 1,2 = 96,00
Le nouveau prix d'une guitare est de 96 €.
2. Diminution de 40 % : le coefficient multiplicateur est
1 − 40100 = 1 − 0,4 = 0,6
200 × 0,6 = 120,00
Le prix soldé d'un vélo est de 120 €.
Piège classique : une baisse de 40 % ne se « rattrape » pas par une hausse de 40 %. Reprendre 120 et l'augmenter de 40 % donne 168, et non 200.
3. On calcule d'abord le coefficient multiplicateur, en divisant le prix d'arrivée par le prix de départ :
64,0080 = 0,8
On compare ce coefficient à 1 :
0,8 − 1 = −0,2, soit −20 %
Le taux d'évolution est de 20 %, il s'agit d'une baisse.
À retenir : un coefficient supérieur à 1 signale une hausse, un coefficient inférieur à 1 une baisse. Le taux d'évolution s'obtient toujours en retranchant 1 au coefficient, puis en convertissant en pourcentage.
Exercice 5 — Correction
Une échelle 1 / 50 000 signifie que 1 cm sur la carte représente 50 000 cm dans la réalité. Distance sur la carte et distance réelle sont proportionnelles.
1. On multiplie la distance sur la carte par 50 000 :
9 × 50 000 = 450 000 cm
On convertit en km (1 km = 100 000 cm) :
450 000100 000 = 4,5
La distance réelle est de 4,5 km.
2. 4,5 km = 450 000 cm. On divise par 50 000 :
450 00050 000 = 9
Sur la carte, ces deux lieux sont distants de 9 cm.
3.
Oui : pour passer de la carte à la réalité, on multiplie toujours par le même nombre, 50 000. C'est le coefficient de proportionnalité.
Erreur fréquente : oublier la conversion. L'échelle relie des cm à des cm. Il faut convertir en km seulement à la fin (1 km = 100 000 cm).
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