Exercice 1 — Correction
Un tableau est un tableau de proportionnalité lorsque l'on passe de la première ligne à la seconde en multipliant toujours par le même nombre. Ce nombre est le coefficient de proportionnalité : on le retrouve en divisant chaque valeur de la seconde ligne par la valeur correspondante de la première.
Tableau A — on calcule chaque quotient :
- 7,53 = 2,5
- 12,55 = 2,5
- 27,511 = 2,5
- 32,513 = 2,5
Tous les quotients sont égaux à 2,5.
Le tableau A est un tableau de proportionnalité, de coefficient 2,5.
Tableau B — on calcule de même :
- 246 = 4
- 33,58 ≈ 4,188
- 4010 = 4
- 4411 = 4
Les quotients ne sont pas tous égaux : la première colonne donne 4, alors que la colonne « 8 » donne 4,188.
Le tableau B n'est pas un tableau de proportionnalité.
Astuce : il suffit de deux quotients différents pour conclure que le tableau n'est pas proportionnel. En revanche, pour affirmer qu'il l'est, il faut vérifier toutes les colonnes.
Exercice 2 — Correction
Méthode 1 — le passage par l'unité. On calcule d'abord la valeur pour 1, puis on multiplie par la quantité voulue. C'est la méthode la plus sûre.
1. Prix d'une seule place de cinéma :
70,2013 = 5,40
Une place de cinéma coûte 5,40 €.
2. Prix de 18 places de cinéma : on multiplie le prix unitaire par 18.
5,40 × 18 = 97,20
18 places de cinéma coûtent 97,20 €.
Méthode 2 — le produit en croix. Dans un tableau de proportionnalité, les produits en croix sont égaux : le prix cherché vaut 70,20 × 1813 = 97,20, ce qui donne bien le même résultat.
3. Tableau complété :
| Nombre de places de cinéma | 13 | 1 | 18 | 100 |
|---|
| Prix (en €) | 70,20 | 5,40 | 97,20 | 540,00 |
Le coefficient de proportionnalité de ce tableau est 5,40 : c'est le prix d'une place de cinéma, en €.
Exercice 3 — Correction
Prendre t % d'une quantité, c'est la multiplier par t100. Un pourcentage est une fraction de dénominateur 100 : c'est une situation de proportionnalité.
1. On cherche 40 % de 320 :
320 × 40100 = 320 × 40100 = 128
Il y a 128 romans.
Calculer le pourcentage que représente une part : on divise la part par le total, puis on multiplie par 100.
2. La part est 30 sur 250 :
30250 × 100 = 0,12 × 100 = 12
Cela représente 12 % des livres.
Retrouver le total connaissant la part et le taux : on divise la part par le taux, puis on multiplie par 100 (on « remonte » le pourcentage).
3. 48 représentent 20 % du total :
48 × 10020 = 240
L'effectif total est de 240 livres.
Vérification (à faire systématiquement) : 20 % de 240, c'est 240 × 0,2 = 48. C'est bien la part de départ.
Exercice 4 — Correction
Coefficient multiplicateur. Augmenter de t %, c'est multiplier par 1 + t100. Diminuer de t %, c'est multiplier par 1 − t100. Une seule multiplication remplace le calcul de la part puis l'addition : c'est plus rapide et moins risqué.
1. Augmentation de 15 % : le coefficient multiplicateur est
1 + 15100 = 1 + 0,15 = 1,15
240 × 1,15 = 276,00
Le nouveau prix d'un aspirateur est de 276 €.
2. Diminution de 20 % : le coefficient multiplicateur est
1 − 20100 = 1 − 0,2 = 0,8
50 × 0,8 = 40,00
Le prix soldé d'une console de jeu est de 40 €.
Piège classique : une baisse de 20 % ne se « rattrape » pas par une hausse de 20 %. Reprendre 40 et l'augmenter de 20 % donne 48, et non 50.
3. On calcule d'abord le coefficient multiplicateur, en divisant le prix d'arrivée par le prix de départ :
88,0080 = 1,1
On compare ce coefficient à 1 :
1,1 − 1 = 0,1, soit 10 %
Le taux d'évolution est de 10 %, il s'agit d'une hausse.
À retenir : un coefficient supérieur à 1 signale une hausse, un coefficient inférieur à 1 une baisse. Le taux d'évolution s'obtient toujours en retranchant 1 au coefficient, puis en convertissant en pourcentage.
Exercice 5 — Correction
Le débit est une grandeur composée : débit = volumedurée. Le volume écoulé est proportionnel à la durée, et le débit est le coefficient de proportionnalité.
1. On divise le volume par la durée :
7212 = 6
Le débit du robinet est de 6 L/min.
2. En 45 min :
6 × 45 = 270
Il coule 270 L.
3. Pour 600 L :
6006 = 100
Il faut 100 min, soit 1 h 40 min.
Vigilance sur les unités : un débit en L/min multiplié par une durée en minutes donne bien des litres. Si la durée est donnée en heures, il faut d'abord la convertir en minutes.
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