Exercice 1 — Correction
Un tableau est un tableau de proportionnalité lorsque l'on passe de la première ligne à la seconde en multipliant toujours par le même nombre. Ce nombre est le coefficient de proportionnalité : on le retrouve en divisant chaque valeur de la seconde ligne par la valeur correspondante de la première.
Tableau A — on calcule chaque quotient :
- 122 = 6
- 183 = 6
- 244 = 6
- 366 = 6
Tous les quotients sont égaux à 6.
Le tableau A est un tableau de proportionnalité, de coefficient 6.
Tableau B — on calcule de même :
- 6,255 = 1,25
- 108 = 1,25
- 13,510 = 1,35
- 17,514 = 1,25
Les quotients ne sont pas tous égaux : la première colonne donne 1,25, alors que la colonne « 10 » donne 1,35.
Le tableau B n'est pas un tableau de proportionnalité.
Astuce : il suffit de deux quotients différents pour conclure que le tableau n'est pas proportionnel. En revanche, pour affirmer qu'il l'est, il faut vérifier toutes les colonnes.
Exercice 2 — Correction
Méthode 1 — le passage par l'unité. On calcule d'abord la valeur pour 1, puis on multiplie par la quantité voulue. C'est la méthode la plus sûre.
1. Prix d'un seul sachet de croquettes :
22,506 = 3,75
Un sachet de croquettes coûte 3,75 €.
2. Prix de 20 sachets de croquettes : on multiplie le prix unitaire par 20.
3,75 × 20 = 75,00
20 sachets de croquettes coûtent 75 €.
Méthode 2 — le produit en croix. Dans un tableau de proportionnalité, les produits en croix sont égaux : le prix cherché vaut 22,50 × 206 = 75,00, ce qui donne bien le même résultat.
3. Tableau complété :
| Nombre de sachets de croquettes | 6 | 1 | 20 | 100 |
|---|
| Prix (en €) | 22,50 | 3,75 | 75,00 | 375,00 |
Le coefficient de proportionnalité de ce tableau est 3,75 : c'est le prix d'un sachet de croquettes, en €.
Exercice 3 — Correction
Prendre t % d'une quantité, c'est la multiplier par t100. Un pourcentage est une fraction de dénominateur 100 : c'est une situation de proportionnalité.
1. On cherche 15 % de 120 :
120 × 15100 = 120 × 15100 = 18
Il y a 18 licenciés en compétition.
Calculer le pourcentage que représente une part : on divise la part par le total, puis on multiplie par 100.
2. La part est 120 sur 500 :
120500 × 100 = 0,24 × 100 = 24
Cela représente 24 % des adhérents.
Retrouver le total connaissant la part et le taux : on divise la part par le taux, puis on multiplie par 100 (on « remonte » le pourcentage).
3. 12 représentent 4 % du total :
12 × 1004 = 300
L'effectif total est de 300 adhérents.
Vérification (à faire systématiquement) : 4 % de 300, c'est 300 × 0,04 = 12. C'est bien la part de départ.
Exercice 4 — Correction
Coefficient multiplicateur. Augmenter de t %, c'est multiplier par 1 + t100. Diminuer de t %, c'est multiplier par 1 − t100. Une seule multiplication remplace le calcul de la part puis l'addition : c'est plus rapide et moins risqué.
1. Augmentation de 12 % : le coefficient multiplicateur est
1 + 12100 = 1 + 0,12 = 1,12
180 × 1,12 = 201,60
Le nouveau prix d'une paire de baskets est de 201,60 €.
2. Diminution de 30 % : le coefficient multiplicateur est
1 − 30100 = 1 − 0,3 = 0,7
200 × 0,7 = 140,00
Le prix soldé d'un casque audio est de 140 €.
Piège classique : une baisse de 30 % ne se « rattrape » pas par une hausse de 30 %. Reprendre 140 et l'augmenter de 30 % donne 182, et non 200.
3. On calcule d'abord le coefficient multiplicateur, en divisant le prix d'arrivée par le prix de départ :
200,00250 = 0,8
On compare ce coefficient à 1 :
0,8 − 1 = −0,2, soit −20 %
Le taux d'évolution est de 20 %, il s'agit d'une baisse.
À retenir : un coefficient supérieur à 1 signale une hausse, un coefficient inférieur à 1 une baisse. Le taux d'évolution s'obtient toujours en retranchant 1 au coefficient, puis en convertissant en pourcentage.
Exercice 5 — Correction
Une échelle 1 / 25 000 signifie que 1 cm sur la carte représente 25 000 cm dans la réalité. Distance sur la carte et distance réelle sont proportionnelles.
1. On multiplie la distance sur la carte par 25 000 :
9 × 25 000 = 225 000 cm
On convertit en km (1 km = 100 000 cm) :
225 000100 000 = 2,25
La distance réelle est de 2,25 km.
2. 6 km = 600 000 cm. On divise par 25 000 :
600 00025 000 = 24
Sur la carte, ces deux lieux sont distants de 24 cm.
3.
Oui : pour passer de la carte à la réalité, on multiplie toujours par le même nombre, 25 000. C'est le coefficient de proportionnalité.
Erreur fréquente : oublier la conversion. L'échelle relie des cm à des cm. Il faut convertir en km seulement à la fin (1 km = 100 000 cm).
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