Exercice 1 — Correction
Un tableau est un tableau de proportionnalité lorsque l'on passe de la première ligne à la seconde en multipliant toujours par le même nombre. Ce nombre est le coefficient de proportionnalité : on le retrouve en divisant chaque valeur de la seconde ligne par la valeur correspondante de la première.
Tableau A — on calcule chaque quotient :
- 3,753 = 1,25
- 54 = 1,25
- 1512 = 1,25
- 16,2513 = 1,25
Tous les quotients sont égaux à 1,25.
Le tableau A est un tableau de proportionnalité, de coefficient 1,25.
Tableau B — on calcule de même :
- 125 = 2,4
- 28,911 ≈ 2,627
- 31,213 = 2,4
- 33,614 = 2,4
Les quotients ne sont pas tous égaux : la première colonne donne 2,4, alors que la colonne « 11 » donne 2,627.
Le tableau B n'est pas un tableau de proportionnalité.
Astuce : il suffit de deux quotients différents pour conclure que le tableau n'est pas proportionnel. En revanche, pour affirmer qu'il l'est, il faut vérifier toutes les colonnes.
Exercice 2 — Correction
Méthode 1 — le passage par l'unité. On calcule d'abord la valeur pour 1, puis on multiplie par la quantité voulue. C'est la méthode la plus sûre.
1. Prix d'un seul croissant :
31,255 = 6,25
Un croissant coûte 6,25 €.
2. Prix de 19 croissants : on multiplie le prix unitaire par 19.
6,25 × 19 = 118,75
19 croissants coûtent 118,75 €.
Méthode 2 — le produit en croix. Dans un tableau de proportionnalité, les produits en croix sont égaux : le prix cherché vaut 31,25 × 195 = 118,75, ce qui donne bien le même résultat.
3. Tableau complété :
| Nombre de croissants | 5 | 1 | 19 | 100 |
|---|
| Prix (en €) | 31,25 | 6,25 | 118,75 | 625,00 |
Le coefficient de proportionnalité de ce tableau est 6,25 : c'est le prix d'un croissant, en €.
Exercice 3 — Correction
Prendre t % d'une quantité, c'est la multiplier par t100. Un pourcentage est une fraction de dénominateur 100 : c'est une situation de proportionnalité.
1. On cherche 40 % de 320 :
320 × 40100 = 320 × 40100 = 128
Il y a 128 moins de 20 ans.
Calculer le pourcentage que représente une part : on divise la part par le total, puis on multiplie par 100.
2. La part est 192 sur 800 :
192800 × 100 = 0,24 × 100 = 24
Cela représente 24 % des habitants.
Retrouver le total connaissant la part et le taux : on divise la part par le taux, puis on multiplie par 100 (on « remonte » le pourcentage).
3. 75 représentent 25 % du total :
75 × 10025 = 300
L'effectif total est de 300 habitants.
Vérification (à faire systématiquement) : 25 % de 300, c'est 300 × 0,25 = 75. C'est bien la part de départ.
Exercice 4 — Correction
Coefficient multiplicateur. Augmenter de t %, c'est multiplier par 1 + t100. Diminuer de t %, c'est multiplier par 1 − t100. Une seule multiplication remplace le calcul de la part puis l'addition : c'est plus rapide et moins risqué.
1. Augmentation de 15 % : le coefficient multiplicateur est
1 + 15100 = 1 + 0,15 = 1,15
120 × 1,15 = 138,00
Le nouveau prix d'un smartphone est de 138 €.
2. Diminution de 30 % : le coefficient multiplicateur est
1 − 30100 = 1 − 0,3 = 0,7
50 × 0,7 = 35,00
Le prix soldé d'un vélo est de 35 €.
Piège classique : une baisse de 30 % ne se « rattrape » pas par une hausse de 30 %. Reprendre 35 et l'augmenter de 30 % donne 45,5, et non 50.
3. On calcule d'abord le coefficient multiplicateur, en divisant le prix d'arrivée par le prix de départ :
187,50150 = 1,25
On compare ce coefficient à 1 :
1,25 − 1 = 0,25, soit 25 %
Le taux d'évolution est de 25 %, il s'agit d'une hausse.
À retenir : un coefficient supérieur à 1 signale une hausse, un coefficient inférieur à 1 une baisse. Le taux d'évolution s'obtient toujours en retranchant 1 au coefficient, puis en convertissant en pourcentage.
Exercice 5 — Correction
Une échelle 1 / 25 000 signifie que 1 cm sur la carte représente 25 000 cm dans la réalité. Distance sur la carte et distance réelle sont proportionnelles.
1. On multiplie la distance sur la carte par 25 000 :
4 × 25 000 = 100 000 cm
On convertit en km (1 km = 100 000 cm) :
100 000100 000 = 1
La distance réelle est de 1 km.
2. 4,5 km = 450 000 cm. On divise par 25 000 :
450 00025 000 = 18
Sur la carte, ces deux lieux sont distants de 18 cm.
3.
Oui : pour passer de la carte à la réalité, on multiplie toujours par le même nombre, 25 000. C'est le coefficient de proportionnalité.
Erreur fréquente : oublier la conversion. L'échelle relie des cm à des cm. Il faut convertir en km seulement à la fin (1 km = 100 000 cm).
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