Exercice 1 — Correction
Un tableau est un tableau de proportionnalité lorsque l'on passe de la première ligne à la seconde en multipliant toujours par le même nombre. Ce nombre est le coefficient de proportionnalité : on le retrouve en divisant chaque valeur de la seconde ligne par la valeur correspondante de la première.
Tableau A — on calcule chaque quotient :
- 0,753 = 0,25
- 1,56 = 0,25
- 2,510 = 0,25
- 312 = 0,25
Tous les quotients sont égaux à 0,25.
Le tableau A est un tableau de proportionnalité, de coefficient 0,25.
Tableau B — on calcule de même :
- 456 = 7,5
- 52,57 = 7,5
- 8411 ≈ 7,636
- 9012 = 7,5
Les quotients ne sont pas tous égaux : la première colonne donne 7,5, alors que la colonne « 11 » donne 7,636.
Le tableau B n'est pas un tableau de proportionnalité.
Astuce : il suffit de deux quotients différents pour conclure que le tableau n'est pas proportionnel. En revanche, pour affirmer qu'il l'est, il faut vérifier toutes les colonnes.
Exercice 2 — Correction
Méthode 1 — le passage par l'unité. On calcule d'abord la valeur pour 1, puis on multiplie par la quantité voulue. C'est la méthode la plus sûre.
1. Prix d'un seul sachet de croquettes :
30,008 = 3,75
Un sachet de croquettes coûte 3,75 €.
2. Prix de 26 sachets de croquettes : on multiplie le prix unitaire par 26.
3,75 × 26 = 97,50
26 sachets de croquettes coûtent 97,50 €.
Méthode 2 — le produit en croix. Dans un tableau de proportionnalité, les produits en croix sont égaux : le prix cherché vaut 30,00 × 268 = 97,50, ce qui donne bien le même résultat.
3. Tableau complété :
| Nombre de sachets de croquettes | 8 | 1 | 26 | 100 |
|---|
| Prix (en €) | 30,00 | 3,75 | 97,50 | 375,00 |
Le coefficient de proportionnalité de ce tableau est 3,75 : c'est le prix d'un sachet de croquettes, en €.
Exercice 3 — Correction
Prendre t % d'une quantité, c'est la multiplier par t100. Un pourcentage est une fraction de dénominateur 100 : c'est une situation de proportionnalité.
1. On cherche 30 % de 500 :
500 × 30100 = 500 × 30100 = 150
Il y a 150 internes.
Calculer le pourcentage que représente une part : on divise la part par le total, puis on multiplie par 100.
2. La part est 72 sur 300 :
72300 × 100 = 0,24 × 100 = 24
Cela représente 24 % des élèves.
Retrouver le total connaissant la part et le taux : on divise la part par le taux, puis on multiplie par 100 (on « remonte » le pourcentage).
3. 36 représentent 15 % du total :
36 × 10015 = 240
L'effectif total est de 240 élèves.
Vérification (à faire systématiquement) : 15 % de 240, c'est 240 × 0,15 = 36. C'est bien la part de départ.
Exercice 4 — Correction
Coefficient multiplicateur. Augmenter de t %, c'est multiplier par 1 + t100. Diminuer de t %, c'est multiplier par 1 − t100. Une seule multiplication remplace le calcul de la part puis l'addition : c'est plus rapide et moins risqué.
1. Augmentation de 5 % : le coefficient multiplicateur est
1 + 5100 = 1 + 0,05 = 1,05
150 × 1,05 = 157,50
Le nouveau prix d'une trottinette est de 157,50 €.
2. Diminution de 25 % : le coefficient multiplicateur est
1 − 25100 = 1 − 0,25 = 0,75
200 × 0,75 = 150,00
Le prix soldé d'un aspirateur est de 150 €.
Piège classique : une baisse de 25 % ne se « rattrape » pas par une hausse de 25 %. Reprendre 150 et l'augmenter de 25 % donne 187,5, et non 200.
3. On calcule d'abord le coefficient multiplicateur, en divisant le prix d'arrivée par le prix de départ :
45,0050 = 0,9
On compare ce coefficient à 1 :
0,9 − 1 = −0,1, soit −10 %
Le taux d'évolution est de 10 %, il s'agit d'une baisse.
À retenir : un coefficient supérieur à 1 signale une hausse, un coefficient inférieur à 1 une baisse. Le taux d'évolution s'obtient toujours en retranchant 1 au coefficient, puis en convertissant en pourcentage.
Exercice 5 — Correction
Le débit est une grandeur composée : débit = volumedurée. Le volume écoulé est proportionnel à la durée, et le débit est le coefficient de proportionnalité.
1. On divise le volume par la durée :
1757 = 25
Le débit du robinet est de 25 L/min.
2. En 45 min :
25 × 45 = 1125
Il coule 1125 L.
3. Pour 2500 L :
250025 = 100
Il faut 100 min, soit 1 h 40 min.
Vigilance sur les unités : un débit en L/min multiplié par une durée en minutes donne bien des litres. Si la durée est donnée en heures, il faut d'abord la convertir en minutes.
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