Exercice 1 — Correction
Un tableau est un tableau de proportionnalité lorsque l'on passe de la première ligne à la seconde en multipliant toujours par le même nombre. Ce nombre est le coefficient de proportionnalité : on le retrouve en divisant chaque valeur de la seconde ligne par la valeur correspondante de la première.
Tableau A — on calcule chaque quotient :
- 8,757 = 1,25
- 12,510 = 1,25
- 1512 = 1,25
- 17,514 = 1,25
Tous les quotients sont égaux à 1,25.
Le tableau A est un tableau de proportionnalité, de coefficient 1,25.
Tableau B — on calcule de même :
- 144 = 3,5
- 32,59 ≈ 3,611
- 38,511 = 3,5
- 4914 = 3,5
Les quotients ne sont pas tous égaux : la première colonne donne 3,5, alors que la colonne « 9 » donne 3,611.
Le tableau B n'est pas un tableau de proportionnalité.
Astuce : il suffit de deux quotients différents pour conclure que le tableau n'est pas proportionnel. En revanche, pour affirmer qu'il l'est, il faut vérifier toutes les colonnes.
Exercice 2 — Correction
Méthode 1 — le passage par l'unité. On calcule d'abord la valeur pour 1, puis on multiplie par la quantité voulue. C'est la méthode la plus sûre.
1. Prix d'un seul stylo :
18,6012 = 1,55
Un stylo coûte 1,55 €.
2. Prix de 19 stylos : on multiplie le prix unitaire par 19.
1,55 × 19 = 29,45
19 stylos coûtent 29,45 €.
Méthode 2 — le produit en croix. Dans un tableau de proportionnalité, les produits en croix sont égaux : le prix cherché vaut 18,60 × 1912 = 29,45, ce qui donne bien le même résultat.
3. Tableau complété :
| Nombre de stylos | 12 | 1 | 19 | 100 |
|---|
| Prix (en €) | 18,60 | 1,55 | 29,45 | 155,00 |
Le coefficient de proportionnalité de ce tableau est 1,55 : c'est le prix d'un stylo, en €.
Exercice 3 — Correction
Prendre t % d'une quantité, c'est la multiplier par t100. Un pourcentage est une fraction de dénominateur 100 : c'est une situation de proportionnalité.
1. On cherche 20 % de 120 :
120 × 20100 = 120 × 20100 = 24
Il y a 24 à temps partiel.
Calculer le pourcentage que représente une part : on divise la part par le total, puis on multiplie par 100.
2. La part est 108 sur 600 :
108600 × 100 = 0,18 × 100 = 18
Cela représente 18 % des salariés.
Retrouver le total connaissant la part et le taux : on divise la part par le taux, puis on multiplie par 100 (on « remonte » le pourcentage).
3. 90 représentent 20 % du total :
90 × 10020 = 450
L'effectif total est de 450 salariés.
Vérification (à faire systématiquement) : 20 % de 450, c'est 450 × 0,2 = 90. C'est bien la part de départ.
Exercice 4 — Correction
Coefficient multiplicateur. Augmenter de t %, c'est multiplier par 1 + t100. Diminuer de t %, c'est multiplier par 1 − t100. Une seule multiplication remplace le calcul de la part puis l'addition : c'est plus rapide et moins risqué.
1. Augmentation de 15 % : le coefficient multiplicateur est
1 + 15100 = 1 + 0,15 = 1,15
250 × 1,15 = 287,50
Le nouveau prix d'une guitare est de 287,50 €.
2. Diminution de 40 % : le coefficient multiplicateur est
1 − 40100 = 1 − 0,4 = 0,6
400 × 0,6 = 240,00
Le prix soldé d'un appareil photo est de 240 €.
Piège classique : une baisse de 40 % ne se « rattrape » pas par une hausse de 40 %. Reprendre 240 et l'augmenter de 40 % donne 336, et non 400.
3. On calcule d'abord le coefficient multiplicateur, en divisant le prix d'arrivée par le prix de départ :
72,0060 = 1,2
On compare ce coefficient à 1 :
1,2 − 1 = 0,2, soit 20 %
Le taux d'évolution est de 20 %, il s'agit d'une hausse.
À retenir : un coefficient supérieur à 1 signale une hausse, un coefficient inférieur à 1 une baisse. Le taux d'évolution s'obtient toujours en retranchant 1 au coefficient, puis en convertissant en pourcentage.
Exercice 5 — Correction
La vitesse moyenne est une grandeur composée : v = distancedurée. Distance et durée sont proportionnelles, le coefficient de proportionnalité est la vitesse. Attention aux unités : des km et des h donnent des km/h.
1. On divise la distance par la durée :
v = 4004 = 100
La vitesse moyenne est de 100 km/h.
2. En 0 h 30 min, soit 0,5 h :
d = 100 × 0,5 = 50
Le train parcourt 50 km.
3. Pour 300 km :
t = 300100 = 3
Il lui faut 3 h.
Conversion utile : une durée décimale se convertit en minutes en multipliant la partie décimale par 60 (0,25 h = 15 min ; 0,5 h = 30 min ; 0,75 h = 45 min).
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