Exercice 1 — Correction
Un tableau est un tableau de proportionnalité lorsque l'on passe de la première ligne à la seconde en multipliant toujours par le même nombre. Ce nombre est le coefficient de proportionnalité : on le retrouve en divisant chaque valeur de la seconde ligne par la valeur correspondante de la première.
Tableau A — on calcule chaque quotient :
- 456 = 7,5
- 608 = 7,5
- 82,511 = 7,5
- 97,513 = 7,5
Tous les quotients sont égaux à 7,5.
Le tableau A est un tableau de proportionnalité, de coefficient 7,5.
Tableau B — on calcule de même :
- 12,55 = 2,5
- 208 = 2,5
- 2510 = 2,5
- 3814 ≈ 2,714
Les quotients ne sont pas tous égaux : la première colonne donne 2,5, alors que la colonne « 14 » donne 2,714.
Le tableau B n'est pas un tableau de proportionnalité.
Astuce : il suffit de deux quotients différents pour conclure que le tableau n'est pas proportionnel. En revanche, pour affirmer qu'il l'est, il faut vérifier toutes les colonnes.
Exercice 2 — Correction
Méthode 1 — le passage par l'unité. On calcule d'abord la valeur pour 1, puis on multiplie par la quantité voulue. C'est la méthode la plus sûre.
1. Prix d'une seule place de cinéma :
21,7014 = 1,55
Une place de cinéma coûte 1,55 €.
2. Prix de 36 places de cinéma : on multiplie le prix unitaire par 36.
1,55 × 36 = 55,80
36 places de cinéma coûtent 55,80 €.
Méthode 2 — le produit en croix. Dans un tableau de proportionnalité, les produits en croix sont égaux : le prix cherché vaut 21,70 × 3614 = 55,80, ce qui donne bien le même résultat.
3. Tableau complété :
| Nombre de places de cinéma | 14 | 1 | 36 | 100 |
|---|
| Prix (en €) | 21,70 | 1,55 | 55,80 | 155,00 |
Le coefficient de proportionnalité de ce tableau est 1,55 : c'est le prix d'une place de cinéma, en €.
Exercice 3 — Correction
Prendre t % d'une quantité, c'est la multiplier par t100. Un pourcentage est une fraction de dénominateur 100 : c'est une situation de proportionnalité.
1. On cherche 20 % de 240 :
240 × 20100 = 240 × 20100 = 48
Il y a 48 internes.
Calculer le pourcentage que représente une part : on divise la part par le total, puis on multiplie par 100.
2. La part est 270 sur 750 :
270750 × 100 = 0,36 × 100 = 36
Cela représente 36 % des élèves.
Retrouver le total connaissant la part et le taux : on divise la part par le taux, puis on multiplie par 100 (on « remonte » le pourcentage).
3. 16 représentent 8 % du total :
16 × 1008 = 200
L'effectif total est de 200 élèves.
Vérification (à faire systématiquement) : 8 % de 200, c'est 200 × 0,08 = 16. C'est bien la part de départ.
Exercice 4 — Correction
Coefficient multiplicateur. Augmenter de t %, c'est multiplier par 1 + t100. Diminuer de t %, c'est multiplier par 1 − t100. Une seule multiplication remplace le calcul de la part puis l'addition : c'est plus rapide et moins risqué.
1. Augmentation de 5 % : le coefficient multiplicateur est
1 + 5100 = 1 + 0,05 = 1,05
250 × 1,05 = 262,50
Le nouveau prix d'un aspirateur est de 262,50 €.
2. Diminution de 20 % : le coefficient multiplicateur est
1 − 20100 = 1 − 0,2 = 0,8
200 × 0,8 = 160,00
Le prix soldé d'un smartphone est de 160 €.
Piège classique : une baisse de 20 % ne se « rattrape » pas par une hausse de 20 %. Reprendre 160 et l'augmenter de 20 % donne 192, et non 200.
3. On calcule d'abord le coefficient multiplicateur, en divisant le prix d'arrivée par le prix de départ :
225,00150 = 1,5
On compare ce coefficient à 1 :
1,5 − 1 = 0,5, soit 50 %
Le taux d'évolution est de 50 %, il s'agit d'une hausse.
À retenir : un coefficient supérieur à 1 signale une hausse, un coefficient inférieur à 1 une baisse. Le taux d'évolution s'obtient toujours en retranchant 1 au coefficient, puis en convertissant en pourcentage.
Exercice 5 — Correction
Une échelle 1 / 20 000 signifie que 1 cm sur la carte représente 20 000 cm dans la réalité. Distance sur la carte et distance réelle sont proportionnelles.
1. On multiplie la distance sur la carte par 20 000 :
7,2 × 20 000 = 144 000 cm
On convertit en km (1 km = 100 000 cm) :
144 000100 000 = 1,44
La distance réelle est de 1,44 km.
2. 4,5 km = 450 000 cm. On divise par 20 000 :
450 00020 000 = 22,5
Sur la carte, ces deux lieux sont distants de 22,5 cm.
3.
Oui : pour passer de la carte à la réalité, on multiplie toujours par le même nombre, 20 000. C'est le coefficient de proportionnalité.
Erreur fréquente : oublier la conversion. L'échelle relie des cm à des cm. Il faut convertir en km seulement à la fin (1 km = 100 000 cm).
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