Exercice 1 — Correction
Un tableau est un tableau de proportionnalité lorsque l'on passe de la première ligne à la seconde en multipliant toujours par le même nombre. Ce nombre est le coefficient de proportionnalité : on le retrouve en divisant chaque valeur de la seconde ligne par la valeur correspondante de la première.
Tableau A — on calcule chaque quotient :
- 125 = 2,4
- 14,46 = 2,4
- 19,28 = 2,4
- 31,213 = 2,4
Tous les quotients sont égaux à 2,4.
Le tableau A est un tableau de proportionnalité, de coefficient 2,4.
Tableau B — on calcule de même :
- 12 = 0,5
- 4,53 = 1,5
- 24 = 0,5
- 714 = 0,5
Les quotients ne sont pas tous égaux : la première colonne donne 0,5, alors que la colonne « 3 » donne 1,5.
Le tableau B n'est pas un tableau de proportionnalité.
Astuce : il suffit de deux quotients différents pour conclure que le tableau n'est pas proportionnel. En revanche, pour affirmer qu'il l'est, il faut vérifier toutes les colonnes.
Exercice 2 — Correction
Méthode 1 — le passage par l'unité. On calcule d'abord la valeur pour 1, puis on multiplie par la quantité voulue. C'est la méthode la plus sûre.
1. Prix d'une seule place de cinéma :
8,406 = 1,40
Une place de cinéma coûte 1,40 €.
2. Prix de 29 places de cinéma : on multiplie le prix unitaire par 29.
1,40 × 29 = 40,60
29 places de cinéma coûtent 40,60 €.
Méthode 2 — le produit en croix. Dans un tableau de proportionnalité, les produits en croix sont égaux : le prix cherché vaut 8,40 × 296 = 40,60, ce qui donne bien le même résultat.
3. Tableau complété :
| Nombre de places de cinéma | 6 | 1 | 29 | 100 |
|---|
| Prix (en €) | 8,40 | 1,40 | 40,60 | 140,00 |
Le coefficient de proportionnalité de ce tableau est 1,40 : c'est le prix d'une place de cinéma, en €.
Exercice 3 — Correction
Prendre t % d'une quantité, c'est la multiplier par t100. Un pourcentage est une fraction de dénominateur 100 : c'est une situation de proportionnalité.
1. On cherche 10 % de 140 :
140 × 10100 = 140 × 10100 = 14
Il y a 14 moins de 20 ans.
Calculer le pourcentage que représente une part : on divise la part par le total, puis on multiplie par 100.
2. La part est 330 sur 750 :
330750 × 100 = 0,44 × 100 = 44
Cela représente 44 % des habitants.
Retrouver le total connaissant la part et le taux : on divise la part par le taux, puis on multiplie par 100 (on « remonte » le pourcentage).
3. 24 représentent 8 % du total :
24 × 1008 = 300
L'effectif total est de 300 habitants.
Vérification (à faire systématiquement) : 8 % de 300, c'est 300 × 0,08 = 24. C'est bien la part de départ.
Exercice 4 — Correction
Coefficient multiplicateur. Augmenter de t %, c'est multiplier par 1 + t100. Diminuer de t %, c'est multiplier par 1 − t100. Une seule multiplication remplace le calcul de la part puis l'addition : c'est plus rapide et moins risqué.
1. Augmentation de 30 % : le coefficient multiplicateur est
1 + 30100 = 1 + 0,3 = 1,3
250 × 1,3 = 325,00
Le nouveau prix d'un casque audio est de 325 €.
2. Diminution de 25 % : le coefficient multiplicateur est
1 − 25100 = 1 − 0,25 = 0,75
150 × 0,75 = 112,50
Le prix soldé d'un smartphone est de 112,50 €.
Piège classique : une baisse de 25 % ne se « rattrape » pas par une hausse de 25 %. Reprendre 112,5 et l'augmenter de 25 % donne 140,63, et non 150.
3. On calcule d'abord le coefficient multiplicateur, en divisant le prix d'arrivée par le prix de départ :
88,0080 = 1,1
On compare ce coefficient à 1 :
1,1 − 1 = 0,1, soit 10 %
Le taux d'évolution est de 10 %, il s'agit d'une hausse.
À retenir : un coefficient supérieur à 1 signale une hausse, un coefficient inférieur à 1 une baisse. Le taux d'évolution s'obtient toujours en retranchant 1 au coefficient, puis en convertissant en pourcentage.
Exercice 5 — Correction
Une échelle 1 / 25 000 signifie que 1 cm sur la carte représente 25 000 cm dans la réalité. Distance sur la carte et distance réelle sont proportionnelles.
1. On multiplie la distance sur la carte par 25 000 :
9 × 25 000 = 225 000 cm
On convertit en km (1 km = 100 000 cm) :
225 000100 000 = 2,25
La distance réelle est de 2,25 km.
2. 1,5 km = 150 000 cm. On divise par 25 000 :
150 00025 000 = 6
Sur la carte, ces deux lieux sont distants de 6 cm.
3.
Oui : pour passer de la carte à la réalité, on multiplie toujours par le même nombre, 25 000. C'est le coefficient de proportionnalité.
Erreur fréquente : oublier la conversion. L'échelle relie des cm à des cm. Il faut convertir en km seulement à la fin (1 km = 100 000 cm).
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