Exercice 1 — Correction
Un tableau est un tableau de proportionnalité lorsque l'on passe de la première ligne à la seconde en multipliant toujours par le même nombre. Ce nombre est le coefficient de proportionnalité : on le retrouve en divisant chaque valeur de la seconde ligne par la valeur correspondante de la première.
Tableau A — on calcule chaque quotient :
- 13,53 = 4,5
- 22,55 = 4,5
- 4510 = 4,5
- 6314 = 4,5
Tous les quotients sont égaux à 4,5.
Le tableau A est un tableau de proportionnalité, de coefficient 4,5.
Tableau B — on calcule de même :
- 28 = 0,25
- 2,259 = 0,25
- 2,510 = 0,25
- 4,7511 ≈ 0,432
Les quotients ne sont pas tous égaux : la première colonne donne 0,25, alors que la colonne « 11 » donne 0,432.
Le tableau B n'est pas un tableau de proportionnalité.
Astuce : il suffit de deux quotients différents pour conclure que le tableau n'est pas proportionnel. En revanche, pour affirmer qu'il l'est, il faut vérifier toutes les colonnes.
Exercice 2 — Correction
Méthode 1 — le passage par l'unité. On calcule d'abord la valeur pour 1, puis on multiplie par la quantité voulue. C'est la méthode la plus sûre.
1. Prix d'une seule place de cinéma :
9,7513 = 0,75
Une place de cinéma coûte 0,75 €.
2. Prix de 25 places de cinéma : on multiplie le prix unitaire par 25.
0,75 × 25 = 18,75
25 places de cinéma coûtent 18,75 €.
Méthode 2 — le produit en croix. Dans un tableau de proportionnalité, les produits en croix sont égaux : le prix cherché vaut 9,75 × 2513 = 18,75, ce qui donne bien le même résultat.
3. Tableau complété :
| Nombre de places de cinéma | 13 | 1 | 25 | 100 |
|---|
| Prix (en €) | 9,75 | 0,75 | 18,75 | 75,00 |
Le coefficient de proportionnalité de ce tableau est 0,75 : c'est le prix d'une place de cinéma, en €.
Exercice 3 — Correction
Prendre t % d'une quantité, c'est la multiplier par t100. Un pourcentage est une fraction de dénominateur 100 : c'est une situation de proportionnalité.
1. On cherche 25 % de 120 :
120 × 25100 = 120 × 25100 = 30
Il y a 30 abonnés.
Calculer le pourcentage que représente une part : on divise la part par le total, puis on multiplie par 100.
2. La part est 90 sur 500 :
90500 × 100 = 0,18 × 100 = 18
Cela représente 18 % des spectateurs.
Retrouver le total connaissant la part et le taux : on divise la part par le taux, puis on multiplie par 100 (on « remonte » le pourcentage).
3. 36 représentent 12 % du total :
36 × 10012 = 300
L'effectif total est de 300 spectateurs.
Vérification (à faire systématiquement) : 12 % de 300, c'est 300 × 0,12 = 36. C'est bien la part de départ.
Exercice 4 — Correction
Coefficient multiplicateur. Augmenter de t %, c'est multiplier par 1 + t100. Diminuer de t %, c'est multiplier par 1 − t100. Une seule multiplication remplace le calcul de la part puis l'addition : c'est plus rapide et moins risqué.
1. Augmentation de 12 % : le coefficient multiplicateur est
1 + 12100 = 1 + 0,12 = 1,12
150 × 1,12 = 168,00
Le nouveau prix d'une trottinette est de 168 €.
2. Diminution de 25 % : le coefficient multiplicateur est
1 − 25100 = 1 − 0,25 = 0,75
50 × 0,75 = 37,50
Le prix soldé d'une paire de baskets est de 37,50 €.
Piège classique : une baisse de 25 % ne se « rattrape » pas par une hausse de 25 %. Reprendre 37,5 et l'augmenter de 25 % donne 46,88, et non 50.
3. On calcule d'abord le coefficient multiplicateur, en divisant le prix d'arrivée par le prix de départ :
168,00120 = 1,4
On compare ce coefficient à 1 :
1,4 − 1 = 0,4, soit 40 %
Le taux d'évolution est de 40 %, il s'agit d'une hausse.
À retenir : un coefficient supérieur à 1 signale une hausse, un coefficient inférieur à 1 une baisse. Le taux d'évolution s'obtient toujours en retranchant 1 au coefficient, puis en convertissant en pourcentage.
Exercice 5 — Correction
Le débit est une grandeur composée : débit = volumedurée. Le volume écoulé est proportionnel à la durée, et le débit est le coefficient de proportionnalité.
1. On divise le volume par la durée :
11214 = 8
Le débit du robinet est de 8 L/min.
2. En 40 min :
8 × 40 = 320
Il coule 320 L.
3. Pour 800 L :
8008 = 100
Il faut 100 min, soit 1 h 40 min.
Vigilance sur les unités : un débit en L/min multiplié par une durée en minutes donne bien des litres. Si la durée est donnée en heures, il faut d'abord la convertir en minutes.
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