Exercice 1 — Correction
Un tableau est un tableau de proportionnalité lorsque l'on passe de la première ligne à la seconde en multipliant toujours par le même nombre. Ce nombre est le coefficient de proportionnalité : on le retrouve en divisant chaque valeur de la seconde ligne par la valeur correspondante de la première.
Tableau A — on calcule chaque quotient :
- 16,87 = 2,4
- 2410 = 2,4
- 26,411 = 2,4
- 33,614 = 2,4
Tous les quotients sont égaux à 2,4.
Le tableau A est un tableau de proportionnalité, de coefficient 2,4.
Tableau B — on calcule de même :
- 52,57 = 7,5
- 67,59 = 7,5
- 82,511 = 7,5
- 106,514 ≈ 7,607
Les quotients ne sont pas tous égaux : la première colonne donne 7,5, alors que la colonne « 14 » donne 7,607.
Le tableau B n'est pas un tableau de proportionnalité.
Astuce : il suffit de deux quotients différents pour conclure que le tableau n'est pas proportionnel. En revanche, pour affirmer qu'il l'est, il faut vérifier toutes les colonnes.
Exercice 2 — Correction
Méthode 1 — le passage par l'unité. On calcule d'abord la valeur pour 1, puis on multiplie par la quantité voulue. C'est la méthode la plus sûre.
1. Prix d'une seule cartouche d'encre :
18,755 = 3,75
Une cartouche d'encre coûte 3,75 €.
2. Prix de 28 cartouches d'encre : on multiplie le prix unitaire par 28.
3,75 × 28 = 105,00
28 cartouches d'encre coûtent 105 €.
Méthode 2 — le produit en croix. Dans un tableau de proportionnalité, les produits en croix sont égaux : le prix cherché vaut 18,75 × 285 = 105,00, ce qui donne bien le même résultat.
3. Tableau complété :
| Nombre de cartouches d'encre | 5 | 1 | 28 | 100 |
|---|
| Prix (en €) | 18,75 | 3,75 | 105,00 | 375,00 |
Le coefficient de proportionnalité de ce tableau est 3,75 : c'est le prix d'une cartouche d'encre, en €.
Exercice 3 — Correction
Prendre t % d'une quantité, c'est la multiplier par t100. Un pourcentage est une fraction de dénominateur 100 : c'est une situation de proportionnalité.
1. On cherche 40 % de 140 :
140 × 40100 = 140 × 40100 = 56
Il y a 56 moins de 20 ans.
Calculer le pourcentage que représente une part : on divise la part par le total, puis on multiplie par 100.
2. La part est 320 sur 500 :
320500 × 100 = 0,64 × 100 = 64
Cela représente 64 % des habitants.
Retrouver le total connaissant la part et le taux : on divise la part par le taux, puis on multiplie par 100 (on « remonte » le pourcentage).
3. 42 représentent 12 % du total :
42 × 10012 = 350
L'effectif total est de 350 habitants.
Vérification (à faire systématiquement) : 12 % de 350, c'est 350 × 0,12 = 42. C'est bien la part de départ.
Exercice 4 — Correction
Coefficient multiplicateur. Augmenter de t %, c'est multiplier par 1 + t100. Diminuer de t %, c'est multiplier par 1 − t100. Une seule multiplication remplace le calcul de la part puis l'addition : c'est plus rapide et moins risqué.
1. Augmentation de 20 % : le coefficient multiplicateur est
1 + 20100 = 1 + 0,2 = 1,2
240 × 1,2 = 288,00
Le nouveau prix d'un casque audio est de 288 €.
2. Diminution de 20 % : le coefficient multiplicateur est
1 − 20100 = 1 − 0,2 = 0,8
200 × 0,8 = 160,00
Le prix soldé d'une guitare est de 160 €.
Piège classique : une baisse de 20 % ne se « rattrape » pas par une hausse de 20 %. Reprendre 160 et l'augmenter de 20 % donne 192, et non 200.
3. On calcule d'abord le coefficient multiplicateur, en divisant le prix d'arrivée par le prix de départ :
112,0080 = 1,4
On compare ce coefficient à 1 :
1,4 − 1 = 0,4, soit 40 %
Le taux d'évolution est de 40 %, il s'agit d'une hausse.
À retenir : un coefficient supérieur à 1 signale une hausse, un coefficient inférieur à 1 une baisse. Le taux d'évolution s'obtient toujours en retranchant 1 au coefficient, puis en convertissant en pourcentage.
Exercice 5 — Correction
« Consommer 7100 km » signifie que le volume consommé est proportionnel à la distance, de coefficient 7100 = 0,07 litre par kilomètre.
1. Pour 600 km :
7 × 600100 = 42
La voiture consomme 42 L.
2. Coût du trajet :
42 × 1,72 = 72,24 = 72,24
Le trajet coûte environ 72,24 €.
3.
Oui : on multiplie toujours la distance par le même nombre (0,07 L/km) pour obtenir le volume consommé. C'est donc bien une situation de proportionnalité.
Nuance à connaître : ce modèle est une moyenne. En pratique la consommation réelle dépend de la vitesse et du relief : la proportionnalité est un modèle simplifié, pas une loi exacte.
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