Exercice 1 — Correction
Un tableau est un tableau de proportionnalité lorsque l'on passe de la première ligne à la seconde en multipliant toujours par le même nombre. Ce nombre est le coefficient de proportionnalité : on le retrouve en divisant chaque valeur de la seconde ligne par la valeur correspondante de la première.
Tableau A — on calcule chaque quotient :
- 4,53 = 1,5
- 7,55 = 1,5
- 10,57 = 1,5
- 13,59 = 1,5
Tous les quotients sont égaux à 1,5.
Le tableau A est un tableau de proportionnalité, de coefficient 1,5.
Tableau B — on calcule de même :
- 63 = 2
- 105 = 2
- 28,513 ≈ 2,192
- 2814 = 2
Les quotients ne sont pas tous égaux : la première colonne donne 2, alors que la colonne « 13 » donne 2,192.
Le tableau B n'est pas un tableau de proportionnalité.
Astuce : il suffit de deux quotients différents pour conclure que le tableau n'est pas proportionnel. En revanche, pour affirmer qu'il l'est, il faut vérifier toutes les colonnes.
Exercice 2 — Correction
Méthode 1 — le passage par l'unité. On calcule d'abord la valeur pour 1, puis on multiplie par la quantité voulue. C'est la méthode la plus sûre.
1. Prix d'une seule cartouche d'encre :
27,005 = 5,40
Une cartouche d'encre coûte 5,40 €.
2. Prix de 37 cartouches d'encre : on multiplie le prix unitaire par 37.
5,40 × 37 = 199,80
37 cartouches d'encre coûtent 199,80 €.
Méthode 2 — le produit en croix. Dans un tableau de proportionnalité, les produits en croix sont égaux : le prix cherché vaut 27,00 × 375 = 199,80, ce qui donne bien le même résultat.
3. Tableau complété :
| Nombre de cartouches d'encre | 5 | 1 | 37 | 100 |
|---|
| Prix (en €) | 27,00 | 5,40 | 199,80 | 540,00 |
Le coefficient de proportionnalité de ce tableau est 5,40 : c'est le prix d'une cartouche d'encre, en €.
Exercice 3 — Correction
Prendre t % d'une quantité, c'est la multiplier par t100. Un pourcentage est une fraction de dénominateur 100 : c'est une situation de proportionnalité.
1. On cherche 20 % de 480 :
480 × 20100 = 480 × 20100 = 96
Il y a 96 demi-pensionnaires.
Calculer le pourcentage que représente une part : on divise la part par le total, puis on multiplie par 100.
2. La part est 120 sur 500 :
120500 × 100 = 0,24 × 100 = 24
Cela représente 24 % des élèves.
Retrouver le total connaissant la part et le taux : on divise la part par le taux, puis on multiplie par 100 (on « remonte » le pourcentage).
3. 100 représentent 25 % du total :
100 × 10025 = 400
L'effectif total est de 400 élèves.
Vérification (à faire systématiquement) : 25 % de 400, c'est 400 × 0,25 = 100. C'est bien la part de départ.
Exercice 4 — Correction
Coefficient multiplicateur. Augmenter de t %, c'est multiplier par 1 + t100. Diminuer de t %, c'est multiplier par 1 − t100. Une seule multiplication remplace le calcul de la part puis l'addition : c'est plus rapide et moins risqué.
1. Augmentation de 30 % : le coefficient multiplicateur est
1 + 30100 = 1 + 0,3 = 1,3
180 × 1,3 = 234,00
Le nouveau prix d'une trottinette est de 234 €.
2. Diminution de 10 % : le coefficient multiplicateur est
1 − 10100 = 1 − 0,1 = 0,9
75 × 0,9 = 67,50
Le prix soldé d'une guitare est de 67,50 €.
Piège classique : une baisse de 10 % ne se « rattrape » pas par une hausse de 10 %. Reprendre 67,5 et l'augmenter de 10 % donne 74,25, et non 75.
3. On calcule d'abord le coefficient multiplicateur, en divisant le prix d'arrivée par le prix de départ :
200,00250 = 0,8
On compare ce coefficient à 1 :
0,8 − 1 = −0,2, soit −20 %
Le taux d'évolution est de 20 %, il s'agit d'une baisse.
À retenir : un coefficient supérieur à 1 signale une hausse, un coefficient inférieur à 1 une baisse. Le taux d'évolution s'obtient toujours en retranchant 1 au coefficient, puis en convertissant en pourcentage.
Exercice 5 — Correction
Le débit est une grandeur composée : débit = volumedurée. Le volume écoulé est proportionnel à la durée, et le débit est le coefficient de proportionnalité.
1. On divise le volume par la durée :
10514 = 7,5
Le débit du robinet est de 7,5 L/min.
2. En 45 min :
7,5 × 45 = 337,5
Il coule 337,5 L.
3. Pour 750 L :
7507,5 = 100
Il faut 100 min, soit 1 h 40 min.
Vigilance sur les unités : un débit en L/min multiplié par une durée en minutes donne bien des litres. Si la durée est donnée en heures, il faut d'abord la convertir en minutes.
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