Exercice 1 — Correction
Un tableau est un tableau de proportionnalité lorsque l'on passe de la première ligne à la seconde en multipliant toujours par le même nombre. Ce nombre est le coefficient de proportionnalité : on le retrouve en divisant chaque valeur de la seconde ligne par la valeur correspondante de la première.
Tableau A — on calcule chaque quotient :
- 5,67 = 0,8
- 7,29 = 0,8
- 810 = 0,8
- 10,413 = 0,8
Tous les quotients sont égaux à 0,8.
Le tableau A est un tableau de proportionnalité, de coefficient 0,8.
Tableau B — on calcule de même :
- 52 = 2,5
- 134 = 3,25
- 208 = 2,5
- 32,513 = 2,5
Les quotients ne sont pas tous égaux : la première colonne donne 2,5, alors que la colonne « 4 » donne 3,25.
Le tableau B n'est pas un tableau de proportionnalité.
Astuce : il suffit de deux quotients différents pour conclure que le tableau n'est pas proportionnel. En revanche, pour affirmer qu'il l'est, il faut vérifier toutes les colonnes.
Exercice 2 — Correction
Méthode 1 — le passage par l'unité. On calcule d'abord la valeur pour 1, puis on multiplie par la quantité voulue. C'est la méthode la plus sûre.
1. Prix d'une seule place de cinéma :
15,004 = 3,75
Une place de cinéma coûte 3,75 €.
2. Prix de 17 places de cinéma : on multiplie le prix unitaire par 17.
3,75 × 17 = 63,75
17 places de cinéma coûtent 63,75 €.
Méthode 2 — le produit en croix. Dans un tableau de proportionnalité, les produits en croix sont égaux : le prix cherché vaut 15,00 × 174 = 63,75, ce qui donne bien le même résultat.
3. Tableau complété :
| Nombre de places de cinéma | 4 | 1 | 17 | 100 |
|---|
| Prix (en €) | 15,00 | 3,75 | 63,75 | 375,00 |
Le coefficient de proportionnalité de ce tableau est 3,75 : c'est le prix d'une place de cinéma, en €.
Exercice 3 — Correction
Prendre t % d'une quantité, c'est la multiplier par t100. Un pourcentage est une fraction de dénominateur 100 : c'est une situation de proportionnalité.
1. On cherche 35 % de 120 :
120 × 35100 = 120 × 35100 = 42
Il y a 42 internes.
Calculer le pourcentage que représente une part : on divise la part par le total, puis on multiplie par 100.
2. La part est 60 sur 250 :
60250 × 100 = 0,24 × 100 = 24
Cela représente 24 % des élèves.
Retrouver le total connaissant la part et le taux : on divise la part par le taux, puis on multiplie par 100 (on « remonte » le pourcentage).
3. 75 représentent 25 % du total :
75 × 10025 = 300
L'effectif total est de 300 élèves.
Vérification (à faire systématiquement) : 25 % de 300, c'est 300 × 0,25 = 75. C'est bien la part de départ.
Exercice 4 — Correction
Coefficient multiplicateur. Augmenter de t %, c'est multiplier par 1 + t100. Diminuer de t %, c'est multiplier par 1 − t100. Une seule multiplication remplace le calcul de la part puis l'addition : c'est plus rapide et moins risqué.
1. Augmentation de 8 % : le coefficient multiplicateur est
1 + 8100 = 1 + 0,08 = 1,08
240 × 1,08 = 259,20
Le nouveau prix d'une console de jeu est de 259,20 €.
2. Diminution de 40 % : le coefficient multiplicateur est
1 − 40100 = 1 − 0,4 = 0,6
50 × 0,6 = 30,00
Le prix soldé d'un aspirateur est de 30 €.
Piège classique : une baisse de 40 % ne se « rattrape » pas par une hausse de 40 %. Reprendre 30 et l'augmenter de 40 % donne 42, et non 50.
3. On calcule d'abord le coefficient multiplicateur, en divisant le prix d'arrivée par le prix de départ :
150,00200 = 0,75
On compare ce coefficient à 1 :
0,75 − 1 = −0,25, soit −25 %
Le taux d'évolution est de 25 %, il s'agit d'une baisse.
À retenir : un coefficient supérieur à 1 signale une hausse, un coefficient inférieur à 1 une baisse. Le taux d'évolution s'obtient toujours en retranchant 1 au coefficient, puis en convertissant en pourcentage.
Exercice 5 — Correction
Une échelle 1 / 10 000 signifie que 1 cm sur la carte représente 10 000 cm dans la réalité. Distance sur la carte et distance réelle sont proportionnelles.
1. On multiplie la distance sur la carte par 10 000 :
6 × 10 000 = 60 000 cm
On convertit en km (1 km = 100 000 cm) :
60 000100 000 = 0,6
La distance réelle est de 0,6 km.
2. 1,5 km = 150 000 cm. On divise par 10 000 :
150 00010 000 = 15
Sur la carte, ces deux lieux sont distants de 15 cm.
3.
Oui : pour passer de la carte à la réalité, on multiplie toujours par le même nombre, 10 000. C'est le coefficient de proportionnalité.
Erreur fréquente : oublier la conversion. L'échelle relie des cm à des cm. Il faut convertir en km seulement à la fin (1 km = 100 000 cm).
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