Exercice 1 — Correction
Un tableau est un tableau de proportionnalité lorsque l'on passe de la première ligne à la seconde en multipliant toujours par le même nombre. Ce nombre est le coefficient de proportionnalité : on le retrouve en divisant chaque valeur de la seconde ligne par la valeur correspondante de la première.
Tableau A — on calcule chaque quotient :
- 366 = 6
- 549 = 6
- 6010 = 6
- 7212 = 6
Tous les quotients sont égaux à 6.
Le tableau A est un tableau de proportionnalité, de coefficient 6.
Tableau B — on calcule de même :
- 125 = 2,4
- 16,87 = 2,4
- 21,69 = 2,4
- 27,911 ≈ 2,536
Les quotients ne sont pas tous égaux : la première colonne donne 2,4, alors que la colonne « 11 » donne 2,536.
Le tableau B n'est pas un tableau de proportionnalité.
Astuce : il suffit de deux quotients différents pour conclure que le tableau n'est pas proportionnel. En revanche, pour affirmer qu'il l'est, il faut vérifier toutes les colonnes.
Exercice 2 — Correction
Méthode 1 — le passage par l'unité. On calcule d'abord la valeur pour 1, puis on multiplie par la quantité voulue. C'est la méthode la plus sûre.
1. Prix d'un seul stylo :
31,507 = 4,50
Un stylo coûte 4,50 €.
2. Prix de 17 stylos : on multiplie le prix unitaire par 17.
4,50 × 17 = 76,50
17 stylos coûtent 76,50 €.
Méthode 2 — le produit en croix. Dans un tableau de proportionnalité, les produits en croix sont égaux : le prix cherché vaut 31,50 × 177 = 76,50, ce qui donne bien le même résultat.
3. Tableau complété :
| Nombre de stylos | 7 | 1 | 17 | 100 |
|---|
| Prix (en €) | 31,50 | 4,50 | 76,50 | 450,00 |
Le coefficient de proportionnalité de ce tableau est 4,50 : c'est le prix d'un stylo, en €.
Exercice 3 — Correction
Prendre t % d'une quantité, c'est la multiplier par t100. Un pourcentage est une fraction de dénominateur 100 : c'est une situation de proportionnalité.
1. On cherche 80 % de 320 :
320 × 80100 = 320 × 80100 = 256
Il y a 256 venus en train.
Calculer le pourcentage que représente une part : on divise la part par le total, puis on multiplie par 100.
2. La part est 110 sur 250 :
110250 × 100 = 0,44 × 100 = 44
Cela représente 44 % des festivaliers.
Retrouver le total connaissant la part et le taux : on divise la part par le taux, puis on multiplie par 100 (on « remonte » le pourcentage).
3. 70 représentent 20 % du total :
70 × 10020 = 350
L'effectif total est de 350 festivaliers.
Vérification (à faire systématiquement) : 20 % de 350, c'est 350 × 0,2 = 70. C'est bien la part de départ.
Exercice 4 — Correction
Coefficient multiplicateur. Augmenter de t %, c'est multiplier par 1 + t100. Diminuer de t %, c'est multiplier par 1 − t100. Une seule multiplication remplace le calcul de la part puis l'addition : c'est plus rapide et moins risqué.
1. Augmentation de 15 % : le coefficient multiplicateur est
1 + 15100 = 1 + 0,15 = 1,15
150 × 1,15 = 172,50
Le nouveau prix d'un appareil photo est de 172,50 €.
2. Diminution de 40 % : le coefficient multiplicateur est
1 − 40100 = 1 − 0,4 = 0,6
300 × 0,6 = 180,00
Le prix soldé d'une paire de baskets est de 180 €.
Piège classique : une baisse de 40 % ne se « rattrape » pas par une hausse de 40 %. Reprendre 180 et l'augmenter de 40 % donne 252, et non 300.
3. On calcule d'abord le coefficient multiplicateur, en divisant le prix d'arrivée par le prix de départ :
46,0040 = 1,15
On compare ce coefficient à 1 :
1,15 − 1 = 0,15, soit 15 %
Le taux d'évolution est de 15 %, il s'agit d'une hausse.
À retenir : un coefficient supérieur à 1 signale une hausse, un coefficient inférieur à 1 une baisse. Le taux d'évolution s'obtient toujours en retranchant 1 au coefficient, puis en convertissant en pourcentage.
Exercice 5 — Correction
La vitesse moyenne est une grandeur composée : v = distancedurée. Distance et durée sont proportionnelles, le coefficient de proportionnalité est la vitesse. Attention aux unités : des km et des h donnent des km/h.
1. On divise la distance par la durée :
v = 2502,5 = 100
La vitesse moyenne est de 100 km/h.
2. En 0 h 30 min, soit 0,5 h :
d = 100 × 0,5 = 50
Le train parcourt 50 km.
3. Pour 300 km :
t = 300100 = 3
Il lui faut 3 h.
Conversion utile : une durée décimale se convertit en minutes en multipliant la partie décimale par 60 (0,25 h = 15 min ; 0,5 h = 30 min ; 0,75 h = 45 min).
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