Exercice 1 — Correction
Un tableau est un tableau de proportionnalité lorsque l'on passe de la première ligne à la seconde en multipliant toujours par le même nombre. Ce nombre est le coefficient de proportionnalité : on le retrouve en divisant chaque valeur de la seconde ligne par la valeur correspondante de la première.
Tableau A — on calcule chaque quotient :
- 24 = 0,5
- 2,55 = 0,5
- 36 = 0,5
- 714 = 0,5
Tous les quotients sont égaux à 0,5.
Le tableau A est un tableau de proportionnalité, de coefficient 0,5.
Tableau B — on calcule de même :
- 2,42 = 1,2
- 8,55 = 1,7
- 1210 = 1,2
- 13,211 = 1,2
Les quotients ne sont pas tous égaux : la première colonne donne 1,2, alors que la colonne « 5 » donne 1,7.
Le tableau B n'est pas un tableau de proportionnalité.
Astuce : il suffit de deux quotients différents pour conclure que le tableau n'est pas proportionnel. En revanche, pour affirmer qu'il l'est, il faut vérifier toutes les colonnes.
Exercice 2 — Correction
Méthode 1 — le passage par l'unité. On calcule d'abord la valeur pour 1, puis on multiplie par la quantité voulue. C'est la méthode la plus sûre.
1. Prix d'un seul croissant :
93,7515 = 6,25
Un croissant coûte 6,25 €.
2. Prix de 32 croissants : on multiplie le prix unitaire par 32.
6,25 × 32 = 200,00
32 croissants coûtent 200 €.
Méthode 2 — le produit en croix. Dans un tableau de proportionnalité, les produits en croix sont égaux : le prix cherché vaut 93,75 × 3215 = 200,00, ce qui donne bien le même résultat.
3. Tableau complété :
| Nombre de croissants | 15 | 1 | 32 | 100 |
|---|
| Prix (en €) | 93,75 | 6,25 | 200,00 | 625,00 |
Le coefficient de proportionnalité de ce tableau est 6,25 : c'est le prix d'un croissant, en €.
Exercice 3 — Correction
Prendre t % d'une quantité, c'est la multiplier par t100. Un pourcentage est une fraction de dénominateur 100 : c'est une situation de proportionnalité.
1. On cherche 35 % de 500 :
500 × 35100 = 500 × 35100 = 175
Il y a 175 à temps partiel.
Calculer le pourcentage que représente une part : on divise la part par le total, puis on multiplie par 100.
2. La part est 108 sur 600 :
108600 × 100 = 0,18 × 100 = 18
Cela représente 18 % des salariés.
Retrouver le total connaissant la part et le taux : on divise la part par le taux, puis on multiplie par 100 (on « remonte » le pourcentage).
3. 12 représentent 8 % du total :
12 × 1008 = 150
L'effectif total est de 150 salariés.
Vérification (à faire systématiquement) : 8 % de 150, c'est 150 × 0,08 = 12. C'est bien la part de départ.
Exercice 4 — Correction
Coefficient multiplicateur. Augmenter de t %, c'est multiplier par 1 + t100. Diminuer de t %, c'est multiplier par 1 − t100. Une seule multiplication remplace le calcul de la part puis l'addition : c'est plus rapide et moins risqué.
1. Augmentation de 12 % : le coefficient multiplicateur est
1 + 12100 = 1 + 0,12 = 1,12
240 × 1,12 = 268,80
Le nouveau prix d'un casque audio est de 268,80 €.
2. Diminution de 25 % : le coefficient multiplicateur est
1 − 25100 = 1 − 0,25 = 0,75
80 × 0,75 = 60,00
Le prix soldé d'une guitare est de 60 €.
Piège classique : une baisse de 25 % ne se « rattrape » pas par une hausse de 25 %. Reprendre 60 et l'augmenter de 25 % donne 75, et non 80.
3. On calcule d'abord le coefficient multiplicateur, en divisant le prix d'arrivée par le prix de départ :
240,00200 = 1,2
On compare ce coefficient à 1 :
1,2 − 1 = 0,2, soit 20 %
Le taux d'évolution est de 20 %, il s'agit d'une hausse.
À retenir : un coefficient supérieur à 1 signale une hausse, un coefficient inférieur à 1 une baisse. Le taux d'évolution s'obtient toujours en retranchant 1 au coefficient, puis en convertissant en pourcentage.
Exercice 5 — Correction
La vitesse moyenne est une grandeur composée : v = distancedurée. Distance et durée sont proportionnelles, le coefficient de proportionnalité est la vitesse. Attention aux unités : des km et des h donnent des km/h.
1. On divise la distance par la durée :
v = 1202 = 60
La vitesse moyenne est de 60 km/h.
2. En 1 h, soit 1 h :
d = 60 × 1 = 60
Le train parcourt 60 km.
3. Pour 180 km :
t = 18060 = 3
Il lui faut 3 h.
Conversion utile : une durée décimale se convertit en minutes en multipliant la partie décimale par 60 (0,25 h = 15 min ; 0,5 h = 30 min ; 0,75 h = 45 min).
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