Exercice 1 — Correction
Un tableau est un tableau de proportionnalité lorsque l'on passe de la première ligne à la seconde en multipliant toujours par le même nombre. Ce nombre est le coefficient de proportionnalité : on le retrouve en divisant chaque valeur de la seconde ligne par la valeur correspondante de la première.
Tableau A — on calcule chaque quotient :
- 82 = 4
- 123 = 4
- 4010 = 4
- 5213 = 4
Tous les quotients sont égaux à 4.
Le tableau A est un tableau de proportionnalité, de coefficient 4.
Tableau B — on calcule de même :
- 0,753 = 0,25
- 1,56 = 0,25
- 28 = 0,25
- 412 ≈ 0,333
Les quotients ne sont pas tous égaux : la première colonne donne 0,25, alors que la colonne « 12 » donne 0,333.
Le tableau B n'est pas un tableau de proportionnalité.
Astuce : il suffit de deux quotients différents pour conclure que le tableau n'est pas proportionnel. En revanche, pour affirmer qu'il l'est, il faut vérifier toutes les colonnes.
Exercice 2 — Correction
Méthode 1 — le passage par l'unité. On calcule d'abord la valeur pour 1, puis on multiplie par la quantité voulue. C'est la méthode la plus sûre.
1. Prix d'une seule cartouche d'encre :
17,0511 = 1,55
Une cartouche d'encre coûte 1,55 €.
2. Prix de 16 cartouches d'encre : on multiplie le prix unitaire par 16.
1,55 × 16 = 24,80
16 cartouches d'encre coûtent 24,80 €.
Méthode 2 — le produit en croix. Dans un tableau de proportionnalité, les produits en croix sont égaux : le prix cherché vaut 17,05 × 1611 = 24,80, ce qui donne bien le même résultat.
3. Tableau complété :
| Nombre de cartouches d'encre | 11 | 1 | 16 | 100 |
|---|
| Prix (en €) | 17,05 | 1,55 | 24,80 | 155,00 |
Le coefficient de proportionnalité de ce tableau est 1,55 : c'est le prix d'une cartouche d'encre, en €.
Exercice 3 — Correction
Prendre t % d'une quantité, c'est la multiplier par t100. Un pourcentage est une fraction de dénominateur 100 : c'est une situation de proportionnalité.
1. On cherche 15 % de 240 :
240 × 15100 = 240 × 15100 = 36
Il y a 36 abonnés.
Calculer le pourcentage que représente une part : on divise la part par le total, puis on multiplie par 100.
2. La part est 36 sur 300 :
36300 × 100 = 0,12 × 100 = 12
Cela représente 12 % des spectateurs.
Retrouver le total connaissant la part et le taux : on divise la part par le taux, puis on multiplie par 100 (on « remonte » le pourcentage).
3. 70 représentent 20 % du total :
70 × 10020 = 350
L'effectif total est de 350 spectateurs.
Vérification (à faire systématiquement) : 20 % de 350, c'est 350 × 0,2 = 70. C'est bien la part de départ.
Exercice 4 — Correction
Coefficient multiplicateur. Augmenter de t %, c'est multiplier par 1 + t100. Diminuer de t %, c'est multiplier par 1 − t100. Une seule multiplication remplace le calcul de la part puis l'addition : c'est plus rapide et moins risqué.
1. Augmentation de 15 % : le coefficient multiplicateur est
1 + 15100 = 1 + 0,15 = 1,15
60 × 1,15 = 69,00
Le nouveau prix d'un smartphone est de 69 €.
2. Diminution de 20 % : le coefficient multiplicateur est
1 − 20100 = 1 − 0,2 = 0,8
300 × 0,8 = 240,00
Le prix soldé d'un aspirateur est de 240 €.
Piège classique : une baisse de 20 % ne se « rattrape » pas par une hausse de 20 %. Reprendre 240 et l'augmenter de 20 % donne 288, et non 300.
3. On calcule d'abord le coefficient multiplicateur, en divisant le prix d'arrivée par le prix de départ :
275,00250 = 1,1
On compare ce coefficient à 1 :
1,1 − 1 = 0,1, soit 10 %
Le taux d'évolution est de 10 %, il s'agit d'une hausse.
À retenir : un coefficient supérieur à 1 signale une hausse, un coefficient inférieur à 1 une baisse. Le taux d'évolution s'obtient toujours en retranchant 1 au coefficient, puis en convertissant en pourcentage.
Exercice 5 — Correction
Une échelle 1 / 200 000 signifie que 1 cm sur la carte représente 200 000 cm dans la réalité. Distance sur la carte et distance réelle sont proportionnelles.
1. On multiplie la distance sur la carte par 200 000 :
12,5 × 200 000 = 2 500 000 cm
On convertit en km (1 km = 100 000 cm) :
2 500 000100 000 = 25
La distance réelle est de 25 km.
2. 12 km = 1 200 000 cm. On divise par 200 000 :
1 200 000200 000 = 6
Sur la carte, ces deux lieux sont distants de 6 cm.
3.
Oui : pour passer de la carte à la réalité, on multiplie toujours par le même nombre, 200 000. C'est le coefficient de proportionnalité.
Erreur fréquente : oublier la conversion. L'échelle relie des cm à des cm. Il faut convertir en km seulement à la fin (1 km = 100 000 cm).
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