Exercice 1 — Correction
Un tableau est un tableau de proportionnalité lorsque l'on passe de la première ligne à la seconde en multipliant toujours par le même nombre. Ce nombre est le coefficient de proportionnalité : on le retrouve en divisant chaque valeur de la seconde ligne par la valeur correspondante de la première.
Tableau A — on calcule chaque quotient :
- 4,82 = 2,4
- 9,64 = 2,4
- 16,87 = 2,4
- 28,812 = 2,4
Tous les quotients sont égaux à 2,4.
Le tableau A est un tableau de proportionnalité, de coefficient 2,4.
Tableau B — on calcule de même :
- 72 = 3,5
- 24,57 = 3,5
- 45,513 = 3,5
- 50,514 ≈ 3,607
Les quotients ne sont pas tous égaux : la première colonne donne 3,5, alors que la colonne « 14 » donne 3,607.
Le tableau B n'est pas un tableau de proportionnalité.
Astuce : il suffit de deux quotients différents pour conclure que le tableau n'est pas proportionnel. En revanche, pour affirmer qu'il l'est, il faut vérifier toutes les colonnes.
Exercice 2 — Correction
Méthode 1 — le passage par l'unité. On calcule d'abord la valeur pour 1, puis on multiplie par la quantité voulue. C'est la méthode la plus sûre.
1. Prix d'un seul stylo :
4,005 = 0,80
Un stylo coûte 0,80 €.
2. Prix de 38 stylos : on multiplie le prix unitaire par 38.
0,80 × 38 = 30,40
38 stylos coûtent 30,40 €.
Méthode 2 — le produit en croix. Dans un tableau de proportionnalité, les produits en croix sont égaux : le prix cherché vaut 4,00 × 385 = 30,40, ce qui donne bien le même résultat.
3. Tableau complété :
| Nombre de stylos | 5 | 1 | 38 | 100 |
|---|
| Prix (en €) | 4,00 | 0,80 | 30,40 | 80,00 |
Le coefficient de proportionnalité de ce tableau est 0,80 : c'est le prix d'un stylo, en €.
Exercice 3 — Correction
Prendre t % d'une quantité, c'est la multiplier par t100. Un pourcentage est une fraction de dénominateur 100 : c'est une situation de proportionnalité.
1. On cherche 45 % de 160 :
160 × 45100 = 160 × 45100 = 72
Il y a 72 moins de 20 ans.
Calculer le pourcentage que représente une part : on divise la part par le total, puis on multiplie par 100.
2. La part est 330 sur 750 :
330750 × 100 = 0,44 × 100 = 44
Cela représente 44 % des habitants.
Retrouver le total connaissant la part et le taux : on divise la part par le taux, puis on multiplie par 100 (on « remonte » le pourcentage).
3. 28 représentent 8 % du total :
28 × 1008 = 350
L'effectif total est de 350 habitants.
Vérification (à faire systématiquement) : 8 % de 350, c'est 350 × 0,08 = 28. C'est bien la part de départ.
Exercice 4 — Correction
Coefficient multiplicateur. Augmenter de t %, c'est multiplier par 1 + t100. Diminuer de t %, c'est multiplier par 1 − t100. Une seule multiplication remplace le calcul de la part puis l'addition : c'est plus rapide et moins risqué.
1. Augmentation de 5 % : le coefficient multiplicateur est
1 + 5100 = 1 + 0,05 = 1,05
180 × 1,05 = 189,00
Le nouveau prix d'une paire de baskets est de 189 €.
2. Diminution de 20 % : le coefficient multiplicateur est
1 − 20100 = 1 − 0,2 = 0,8
80 × 0,8 = 64,00
Le prix soldé d'un smartphone est de 64 €.
Piège classique : une baisse de 20 % ne se « rattrape » pas par une hausse de 20 %. Reprendre 64 et l'augmenter de 20 % donne 76,8, et non 80.
3. On calcule d'abord le coefficient multiplicateur, en divisant le prix d'arrivée par le prix de départ :
212,50250 = 0,85
On compare ce coefficient à 1 :
0,85 − 1 = −0,15, soit −15 %
Le taux d'évolution est de 15 %, il s'agit d'une baisse.
À retenir : un coefficient supérieur à 1 signale une hausse, un coefficient inférieur à 1 une baisse. Le taux d'évolution s'obtient toujours en retranchant 1 au coefficient, puis en convertissant en pourcentage.
Exercice 5 — Correction
Le débit est une grandeur composée : débit = volumedurée. Le volume écoulé est proportionnel à la durée, et le débit est le coefficient de proportionnalité.
1. On divise le volume par la durée :
366 = 6
Le débit du robinet est de 6 L/min.
2. En 40 min :
6 × 40 = 240
Il coule 240 L.
3. Pour 600 L :
6006 = 100
Il faut 100 min, soit 1 h 40 min.
Vigilance sur les unités : un débit en L/min multiplié par une durée en minutes donne bien des litres. Si la durée est donnée en heures, il faut d'abord la convertir en minutes.
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