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Ce n'est pas parce qu'en hiver on dit «fermez la porte, il fait froid dehors», qu'il fait moins froid dehors quand la porte est fermée.
Pierre Dac (sur mon T shirt!)
Explorez l'intégralité de la collection. Chaque problème part d'un damier privé de quelques cases, et demande s'il peut être recouvert par des dominos — avec, à chaque fois, une preuve à produire.
📍 Vous consultez actuellement le problème n°228
Ces 400 problèmes tournent tous autour de la même question : un damier auquel on a retiré des cases peut-il être recouvert par des dominos, chacun couvrant deux cases voisines ?
La difficulté n'est pas de trouver un recouvrement quand il existe — il suffit de le dessiner. Elle est de prouver qu'il n'en existe aucun quand c'est le cas. Aucune recherche, aussi patiente soit-elle, ne peut le démontrer : il faut un invariant.
Chaque fiche est accompagnée d'une correction complète au format PDF, figures comprises, ainsi que de sa source LaTeX.
🎨 L'argument de coloriage : on colorie le damier comme un échiquier. Deux cases voisines n'ont jamais la même couleur, donc tout domino couvre exactement une case sombre et une case claire. S'il ne reste pas autant de cases de chaque couleur, le recouvrement est impossible — et on le sait sans avoir essayé une seule disposition.
🎓 Utilisation pédagogique : ces problèmes introduisent le raisonnement par invariant, l'un des plus puissants des mathématiques et l'un des plus rares au collège. Ils conviennent en travail de groupe, en devoir maison ou en atelier de recherche.
⚠️ Le piège que la série vous tend : une fiche sur cinq présente un damier où les deux couleurs sont en nombre égal et où le recouvrement est pourtant impossible. L'équilibre des couleurs est une condition nécessaire, elle n'est pas suffisante — c'est la leçon la plus profonde du problème.
♟️ Une histoire ancienne : le cas le plus célèbre est celui de l'échiquier 8×8 privé de deux coins opposés. Il reste 62 cases, soit 31 dominos exactement — mais les deux coins retirés sont de la même couleur, et le recouvrement est impossible. Le problème a été popularisé par le philosophe Max Black en 1946.
J'ai réalisé cette activité en Python, en utilisant xhtml2pdf pour la version PDF des activités. Mon travail est sous licence Creative commons.
La version actuelle est la version 3.2.0 (28/11/2023)
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Exemples : PYTH0123, PMDE161842, SOMP0042.