Activité 206 - Le damier mutilé

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Fiche n°

Le damier, les cases retirées et les trois questions :

Le damier mutilé

On part d'un damier de 6 cases sur 6. Les colonnes sont repérées par des lettres, les lignes par des numéros : la case en bas à gauche est A1.

On en retire 4 cases : B2, B4, C3, F6 — barrées d'une croix ci-dessous.

On dispose de dominos : chaque domino recouvre exactement deux cases voisines, côte à côte ou l'une au-dessus de l'autre. On veut recouvrir toutes les cases restantes, sans chevauchement, sans débordement, et sans en laisser une seule libre.

Les trois questions se suivent : la première se règle par un simple comptage, la dernière demande une véritable preuve.

Combien de dominos faudrait-il exactement ? Que se passe-t-il si ce nombre n'est pas entier ?
Le damier est colorié en alternant deux couleurs. Combien reste-t-il de cases sombres et de cases claires ? Et que recouvre un domino, en termes de couleurs ?
Le recouvrement est-il possible ? Si oui, en proposer un. Si non, le démontrer.

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Corrigé :

Le damier mutilé — Correction

Le coup d'œil qui suffit. Il ne reste pas autant de cases sombres que de claires (14 contre 18). Comme chaque domino en couvre une de chaque, c'est impossible.

Voici maintenant le raisonnement complet, question par question.

L'idée maîtresse. Montrer qu'un pavage existe est facile : il suffit d'en exhiber un. Montrer qu'il n'en existe aucun est d'une autre nature — on ne peut pas essayer toutes les dispositions. Il faut trouver une quantité qui ne change jamais quand on pose un domino, et constater qu'elle interdit la situation voulue.

1. Le damier complet compte 6 × 6 = 36 cases, dont on retire 4 : il en reste 32.

Nombre de dominos nécessaires : 322 = 16

Il faudrait exactement 16 dominos — le compte tombe juste, rien ne s'oppose encore au pavage.

2. Comptons les cases de chaque couleur :

Le damier et ses deux couleurs alternées.

Il reste 14 cases sombres et 18 cases claires.

Ce que fait un domino. Deux cases voisines n'ont jamais la même couleur sur un damier. Donc tout domino couvre exactement une case sombre et une case claire — c'est vrai quelle que soit sa position, horizontale ou verticale. C'est l'invariant cherché.

Impossible. Il faudrait 16 dominos, et ces 16 dominos couvriraient 16 cases sombres et 16 cases claires — donc autant des deux couleurs.

Or il reste 14 sombres et 18 claires : un écart de 4. Le recouvrement est impossible.

C'est tout l'intérêt du coloriage. Le simple comptage des cases ne disait rien : le nombre était pair. C'est l'invariant de couleur qui tranche, sans essayer une seule disposition.

À retenir. Pour prouver qu'une construction est impossible, on cherche une quantité que chaque étape laisse inchangée — ici, l'écart entre le nombre de cases sombres et claires, qu'un domino ne modifie jamais. Ce raisonnement par invariant sert bien au-delà des dominos.

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Le générateur de cette activité (html, svg, tex et pdf) est écrit en Python 3 ; les PDF sont composés avec LaTeX et les figures sont vectorielles. Mon travail est sous licence Creative commons.

Version 1.0.0 : 17/08/2026
- Création de la série : 400 damiers, chacun avec sa preuve.
- Les cases retirées sont barrées et nommées (colonnes en lettres, lignes en numéros, A1 en bas à gauche) ; un domino témoin figure à côté de la grille.
- Le corrigé s'ouvre sur l'argument le plus court, avant le raisonnement complet.
- Le solveur (couplage maximum) a été confronté à une recherche exhaustive sur 399 plateaux : aucun désaccord.

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