site2wouf.fr : Le damier du jour

On ne saurait être sage quand on aime, ni aimer quand on est sage

Publius Syrus

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Fiche n°
samedi 25 juillet 2026

Le damier, les cases retirées et les trois questions :

Le damier mutilé

On part d'un damier de 6 cases sur 6. On en retire 4 cases — celles dessinées en pointillés ci-dessous.
On dispose de dominos : chaque domino recouvre exactement deux cases voisines, côte à côte ou l'une au-dessus de l'autre. On veut recouvrir toute la partie grise, sans chevauchement, sans débordement, et sans laisser de case libre.
Les trois questions se suivent : la première se règle par un simple comptage, la dernière demande une véritable preuve.
  1. Combien de dominos faudrait-il exactement ? Que se passe-t-il si ce nombre n'est pas entier ?
  2. On colorie le damier comme un vrai échiquier, en alternant deux couleurs. Combien reste-t-il de cases de chaque couleur ? Que recouvre un domino, en termes de couleurs ?
  3. Le recouvrement est-il possible ? Si oui, en proposer un. Si non, le démontrer.

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Corrigé :

Le damier mutilé — Correction

L'idée maîtresse. Montrer qu'un pavage existe est facile : il suffit d'en exhiber un. Montrer qu'il n'en existe aucun est d'une autre nature — on ne peut pas essayer toutes les dispositions. Il faut trouver une quantité qui ne change jamais quand on pose un domino, et constater qu'elle interdit la situation voulue.
1. Le damier complet compte 6 × 6 = 36 cases, dont on retire 4 : il en reste 32.
Nombre de dominos nécessaires : 322 = 16
Il faudrait exactement 16 dominos — le compte tombe juste, rien ne s'oppose encore au pavage.
2. Colorions le damier :
Le damier colorié comme un échiquier.
Il reste 14 cases sombres et 18 cases claires.
Ce que fait un domino. Deux cases voisines n'ont jamais la même couleur sur un damier. Donc tout domino couvre exactement une case sombre et une case claire — c'est vrai quelle que soit sa position, horizontale ou verticale. C'est l'invariant cherché.
3.
Impossible. Il faudrait 16 dominos, et ces 16 dominos couvriraient 16 cases sombres et 16 cases claires — donc autant des deux couleurs.
Or il reste 14 sombres et 18 claires : un écart de 4. Le recouvrement est impossible.
C'est tout l'intérêt du coloriage. Le simple comptage des cases ne disait rien : le nombre était pair. C'est l'invariant de couleur qui tranche, sans essayer une seule disposition.
À retenir. Pour prouver qu'une construction est impossible, on cherche une quantité que chaque étape laisse inchangée — ici, l'écart entre le nombre de cases sombres et claires, qu'un domino ne modifie jamais. Ce raisonnement par invariant sert bien au-delà des dominos.

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