site2wouf.fr : Le damier du jour

Dieu a dit : "Tu aimeras ton prochain comme toi-même." D'abord, Dieu ou pas, j'ai horreur qu'on me tutoie...

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Fiche n°

Le damier, les cases retirées et les trois questions :

Le damier mutilé

On part d'un damier de 6 cases sur 6. Les colonnes sont repérées par des lettres, les lignes par des numéros : la case en bas à gauche est A1.
On en retire 2 cases : A4, D6 — barrées d'une croix ci-dessous.
ABCDEF123456un domino2 cases voisines
On dispose de dominos : chaque domino recouvre exactement deux cases voisines, côte à côte ou l'une au-dessus de l'autre. On veut recouvrir toutes les cases restantes, sans chevauchement, sans débordement, et sans en laisser une seule libre.
Les trois questions se suivent : la première se règle par un simple comptage, la dernière demande une véritable preuve.
  1. Combien de dominos faudrait-il exactement ? Que se passe-t-il si ce nombre n'est pas entier ?
  2. Le damier est colorié en alternant deux couleurs. Combien reste-t-il de cases sombres et de cases claires ? Et que recouvre un domino, en termes de couleurs ?
  3. Le recouvrement est-il possible ? Si oui, en proposer un. Si non, le démontrer.
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Corrigé :

Le damier mutilé — Correction

Le coup d'œil qui suffit. Rien ne s'oppose au recouvrement, et il en existe effectivement un — donné à la question 3.
Voici maintenant le raisonnement complet, question par question.
L'idée maîtresse. Montrer qu'un pavage existe est facile : il suffit d'en exhiber un. Montrer qu'il n'en existe aucun est d'une autre nature — on ne peut pas essayer toutes les dispositions. Il faut trouver une quantité qui ne change jamais quand on pose un domino, et constater qu'elle interdit la situation voulue.
1. Le damier complet compte 6 × 6 = 36 cases, dont on retire 2 : il en reste 34.
Nombre de dominos nécessaires : 342 = 17
Il faudrait exactement 17 dominos — le compte tombe juste, rien ne s'oppose encore au pavage.
2. Comptons les cases de chaque couleur :
ABCDEF123456
Le damier et ses deux couleurs alternées.
Il reste 17 cases sombres et 17 cases claires.
Ce que fait un domino. Deux cases voisines n'ont jamais la même couleur sur un damier. Donc tout domino couvre exactement une case sombre et une case claire — c'est vrai quelle que soit sa position, horizontale ou verticale. C'est l'invariant cherché.
3.
C'est possible. En voici un recouvrement, avec les 17 dominos :
ABCDEF123456
Un recouvrement possible (les couleurs distinguent les dominos les uns des autres).
Il existe en général plusieurs recouvrements : celui-ci n'est qu'une solution parmi d'autres. Pour cette question, en exhiber un seul suffit — c'est toute la différence avec une preuve d'impossibilité, qui doit, elle, valoir pour toutes les dispositions à la fois.
À retenir. Pour prouver qu'une construction est impossible, on cherche une quantité que chaque étape laisse inchangée — ici, l'écart entre le nombre de cases sombres et claires, qu'un domino ne modifie jamais. Ce raisonnement par invariant sert bien au-delà des dominos.

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