site2wouf.fr : Le damier du jour

La sincérité est un calcul comme un autre.

Jean Anouilh (2 designs !)

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Fiche n°
dimanche 24 mai 2026

Le damier, les cases retirées et les trois questions :

Le damier mutilé

On part d'un damier de 7 cases sur 6. On en retire 4 cases — celles dessinées en pointillés ci-dessous.
On dispose de dominos : chaque domino recouvre exactement deux cases voisines, côte à côte ou l'une au-dessus de l'autre. On veut recouvrir toute la partie grise, sans chevauchement, sans débordement, et sans laisser de case libre.
Les trois questions se suivent : la première se règle par un simple comptage, la dernière demande une véritable preuve.
  1. Combien de dominos faudrait-il exactement ? Que se passe-t-il si ce nombre n'est pas entier ?
  2. On colorie le damier comme un vrai échiquier, en alternant deux couleurs. Combien reste-t-il de cases de chaque couleur ? Que recouvre un domino, en termes de couleurs ?
  3. Le recouvrement est-il possible ? Si oui, en proposer un. Si non, le démontrer.

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Corrigé :

Le damier mutilé — Correction

L'idée maîtresse. Montrer qu'un pavage existe est facile : il suffit d'en exhiber un. Montrer qu'il n'en existe aucun est d'une autre nature — on ne peut pas essayer toutes les dispositions. Il faut trouver une quantité qui ne change jamais quand on pose un domino, et constater qu'elle interdit la situation voulue.
1. Le damier complet compte 7 × 6 = 42 cases, dont on retire 4 : il en reste 38.
Nombre de dominos nécessaires : 382 = 19
Il faudrait exactement 19 dominos — le compte tombe juste, rien ne s'oppose encore au pavage.
2. Colorions le damier :
Le damier colorié comme un échiquier.
Il reste 19 cases sombres et 19 cases claires.
Ce que fait un domino. Deux cases voisines n'ont jamais la même couleur sur un damier. Donc tout domino couvre exactement une case sombre et une case claire — c'est vrai quelle que soit sa position, horizontale ou verticale. C'est l'invariant cherché.
3.
Impossible — et cette fois le coloriage ne suffit pas : les deux couleurs sont en nombre égal (19 et 19). Il faut regarder la forme du plateau.
La case (1 ; 1) est isolée : aucune de ses voisines n'appartient au plateau. Aucun domino ne peut donc la couvrir, puisqu'un domino a besoin de deux cases voisines.
La leçon la plus importante de ce problème : l'équilibre des couleurs est une condition nécessaire, elle n'est pas suffisante. Un invariant qui ne s'oppose à rien ne prouve pas que la chose est possible — il faut alors exhiber une solution, ou trouver un autre obstacle.
À retenir. Pour prouver qu'une construction est impossible, on cherche une quantité que chaque étape laisse inchangée — ici, l'écart entre le nombre de cases sombres et claires, qu'un domino ne modifie jamais. Ce raisonnement par invariant sert bien au-delà des dominos.

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