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Je songe parfois à la quantité de boeuf qu'il faudrait pour faire du bouillon avec le Lac de Genève.
Pierre Dac (sur mon T shirt!)
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Exemples : PYTH0123, PMDE161842, SOMP0042.
Ce thème, combinatoire, vous propose six devoirs (6 DM) en 6ème et 5ème, trois pages de problèmes (800 fiches) et deux articles de blog.
La combinatoire est l'art de compter des configurations sans les lister une à une. Elle se tient aux limites du programme du collège, mais s'invite dès qu'on fait des probabilités — il faut bien dénombrer les issues — et elle est le terrain des énigmes qui accrochent. On y progresse par la méthode plutôt que par les connaissances : deux questions, « l'ordre compte-t-il ? » et « remet-on ? », y changent le résultat du simple au double.
📂 Thème parent : logique (81)
📗 6ème — 4 devoirs
Ce devoir mobilise des compétences de construction géométrique précise (longueurs et angles) et de lecture de figure pour identifier une constellation. Il évalue aussi la maîtrise des notions d'aire et de périmètre dans un cadre ludique, ainsi que la capacité à dénombrer de façon exhaustive des combinaisons possibles à partir de plusieurs critères.
Ce devoir explore diverses compétences. L'exercice sur les déplacements du cavalier aux échecs développe la pensée stratégique. L'exercice sur les nombres impairs et les puzzles favorise la visualisation spatiale. Le placement de pièces dans une grille avec contraintes numériques renforce la logique.
Ce devoir mobilise un large éventail de compétences. Les élèves doivent décoder un message en utilisant une figure géométrique. Ils explorent les principes de dénombrement en calculant toutes les combinaisons possibles. Un programme de construction complexe met en œuvre médiatrice, milieux et intersections.
Ce devoir porte sur des compétences en numération, opérations de base, résolution de problèmes, et raisonnement logique. Les exercices incluent le travail sur les unités, les dizaines et les centaines, ainsi que des énigmes logiques et de dénombrement géométrique.
📘 5ème — 2 devoirs
Le devoir n°4 engage les compétences en pourcentage (analyse comparative entre groupes), en raisonnement combinatoire (construction de triangles avec allumettes), et en calcul d'aires de figures géométriques.
Le devoir n°1 met en jeu des compétences en logique et résolution de problèmes (exercice sur le poids des personnages), en calcul combinatoire (déterminer les combinaisons possibles de costumes), et en raisonnement arithmétique (répartir les nombres dans des anneaux olympiques pour obtenir des sommes égales).
Comme la cryptographie, la combinatoire se tient aux limites du programme : le cycle 4 ne lui consacre aucun chapitre — tout juste « dénombrer des cubes dans des empilements » en 5ème. Elle s'invite pourtant dès qu'on fait des probabilités, puisqu'il faut bien compter les issues, et elle est le terrain naturel des énigmes qui accrochent : le dénombrement est un sujet où l'on progresse par la méthode, pas par le stock de connaissances.
Tout part d'une idée qui n'a l'air de rien : quand un choix se fait puis un autre, les possibilités se multiplient. Trois entrées, quatre plats, deux desserts donnent 3 × 4 × 2 = 24 menus — et l'on n'a pas eu besoin d'en écrire un seul. C'est exactement ce que dessine l'arbre des probabilités : chaque niveau multiplie le nombre de branches.
Le piège du ET et du OU. Un choix puis un autre : on multiplie. Un choix ou bien un autre, exclusifs : on additionne. Trois chemins vers A et quatre vers B donnent 12 trajets si l'on passe par les deux, mais 7 possibilités si l'on ne va qu'à l'un des deux.
Un dénombrement faux l'est presque toujours pour l'une de ces deux raisons, et jamais à cause du calcul. C'est pourquoi l'ordre dans lequel on compte n'est pas un détail de présentation : c'est lui qui garantit le résultat.
Le contrôle par familles. On découpe l'ensemble en familles qui ne se chevauchent pas et n'oublient rien, on compte chacune, on additionne. Pour les paires formées à partir de A, B, C, D, E : celles qui commencent par A → 4, par B → 3, par C → 2, par D → 1, par E → 0. Total 10, et l'on est certain de n'avoir rien répété.
Deux questions à se poser avant de compter quoi que ce soit — elles changent le résultat du simple au double et davantage. Sur le même énoncé apparent, « tirer 2 boules parmi 5 » :
· avec remise, l'ordre compte — 5 × 5 = 25 ;
· sans remise, l'ordre compte — 5 × 4 = 20 ;
· sans remise, l'ordre ne compte pas — 20 ÷ 2 = 10,
parce que chaque paire a été comptée deux fois, une fois dans chaque sens.
Ce « divisé par 2 » est la première rencontre avec une idée qui servira longtemps : quand on a compté chaque objet le même nombre de fois, il suffit de diviser. Et la relecture de l'énoncé — « on remet la boule », « on tire simultanément » — tranche les deux questions à elle seule.
Au brevet, la combinatoire n'a pas d'exercice à elle : elle apparaît à l'intérieur des probabilités, quand il faut établir le nombre d'issues avant d'écrire un quotient, ou dans les exercices de programmation, quand un programme doit parcourir toutes les possibilités. Savoir compter proprement y vaut plus de points que la formule qui suit.
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