Activité 375 - Le damier mutilé

🔑 Code de cette fiche :

ℹ️

Besoin d'aide sur les dominos et le coloriage ?

Consultez la page du catalogue pour retrouver l'argument de coloriage, et pourquoi l'équilibre des couleurs est nécessaire mais pas suffisant.

📚 Voir les ressources pédagogiques

Fiche n°

Le damier, les cases retirées et les trois questions :

Le damier mutilé

On part d'un damier de 6 cases sur 5. Les colonnes sont repérées par des lettres, les lignes par des numéros : la case en bas à gauche est A1.

On en retire 3 cases : B3, C4, E3 — barrées d'une croix ci-dessous.

On dispose de dominos : chaque domino recouvre exactement deux cases voisines, côte à côte ou l'une au-dessus de l'autre. On veut recouvrir toutes les cases restantes, sans chevauchement, sans débordement, et sans en laisser une seule libre.

Les trois questions se suivent : la première se règle par un simple comptage, la dernière demande une véritable preuve.

Combien de dominos faudrait-il exactement ? Que se passe-t-il si ce nombre n'est pas entier ?
Le damier est colorié en alternant deux couleurs. Combien reste-t-il de cases sombres et de cases claires ? Et que recouvre un domino, en termes de couleurs ?
Le recouvrement est-il possible ? Si oui, en proposer un. Si non, le démontrer.

Cahier d'exercices iParcours Maths 6e (Génération 5)

Un cahier d'exercices de 128 pages ...

Le cahier : 5,40 €

Plus de Produits

Corrigé :

Le damier mutilé — Correction

Le coup d'œil qui suffit. Le nombre de cases restantes est impair. Un domino en couvre deux : c'est impossible. Le comptage de la question 1 suffit.

Voici maintenant le raisonnement complet, question par question.

L'idée maîtresse. Montrer qu'un pavage existe est facile : il suffit d'en exhiber un. Montrer qu'il n'en existe aucun est d'une autre nature — on ne peut pas essayer toutes les dispositions. Il faut trouver une quantité qui ne change jamais quand on pose un domino, et constater qu'elle interdit la situation voulue.

1. Le damier complet compte 6 × 5 = 30 cases, dont on retire 3 : il en reste 27.

Nombre de dominos nécessaires : 272

27 est impair : 27 ÷ 2 n'est pas un nombre entier. Or chaque domino couvre exactement 2 cases, donc un pavage couvre toujours un nombre pair de cases.

Le recouvrement est donc impossible, et la question 1 suffit à le prouver.

2. Comptons tout de même les couleurs :

Le damier et ses deux couleurs alternées.

Il reste 14 cases sombres et 13 cases claires.

Ce que fait un domino. Deux cases voisines n'ont jamais la même couleur sur un damier. Donc tout domino couvre exactement une case sombre et une case claire — c'est vrai quelle que soit sa position, horizontale ou verticale. C'est l'invariant cherché.

Impossible. Le nombre de cases est impair (question 1) : aucun assemblage de dominos ne peut couvrir un nombre impair de cases.

Remarquons que le coloriage le confirme : 14 et 13 ne peuvent pas être égaux, puisque leur somme est impaire.

À retenir. Pour prouver qu'une construction est impossible, on cherche une quantité que chaque étape laisse inchangée — ici, l'écart entre le nombre de cases sombres et claires, qu'un domino ne modifie jamais. Ce raisonnement par invariant sert bien au-delà des dominos.

Des centaines de PDF disponibles gratuitement !

Pour accéder à nos ressources gratuites, il vous suffit de sélectionner l'activité que vous désirez dans le formulaire au dessus de l'activité du jour. Ensuite, utilisez l'icône appropriée sous les liens de partage pour télécharger vos PDF.

N'oubliez pas, partager fait vivre les sites ! 😊 Merci de votre soutien !

🔗 Liens utiles

// Remarques, codes, note de version etc...

Le générateur de cette activité (html, svg, tex et pdf) est écrit en Python 3 ; les PDF sont composés avec LaTeX et les figures sont vectorielles. Mon travail est sous licence Creative commons.

Version 1.0.0 : 17/08/2026
- Création de la série : 400 damiers, chacun avec sa preuve.
- Les cases retirées sont barrées et nommées (colonnes en lettres, lignes en numéros, A1 en bas à gauche) ; un domino témoin figure à côté de la grille.
- Le corrigé s'ouvre sur l'argument le plus court, avant le raisonnement complet.
- Le solveur (couplage maximum) a été confronté à une recherche exhaustive sur 399 plateaux : aucun désaccord.

N'hésitez pas à me contacter si vous detectez la moindre imperfection, ou si vous imaginez une amélioration potentielle !

Open source et gratuité n'empêchent ni les dons ni les remerciements 😉
Un euro ou deux pour m'aider à payer le serveur ? ☕ Payez-moi un café via PayPal

site2wouf.fr : Le damier du jour