site2wouf.fr : Le programme du jour

J'ai essayé de passer ma vie à comprendre pourquoi la haute culture n'a pas pu enrayer la barbarie.

George Steiner

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Fiche n°
mardi 16 juin 2026

Le programme à exécuter, et la question de contrôle :

Le programme de calcul

Voici deux programmes de calcul :
Programme A
  1. Choisis un nombre.
  2. Retranche 2.
  3. Élève le résultat au carré.
  4. Ajoute 11.
Programme B
  1. Choisis un nombre.
  2. Multiplie par 3.
  3. Ajoute 3.
Réponds aux trois questions, dans l'ordre : la première se fait de tête, la dernière demande une démonstration.
  1. Applique les deux programmes au nombre 3, puis au nombre 4.
  2. Peut-on en conclure que les deux programmes donnent toujours le même résultat ?
  3. Prouve ta réponse.
Fais tes calculs au brouillon, puis rédige.

Un cahier d'exercices de 128 pages ...

Le cahier : 5,40 €

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Corrigé :

Le programme de calcul — Correction

1. Programme A :
Étapeavec 3avec 4
Nombre choisi34
Retranche 212
Élève le résultat au carré14
Ajoute 111215
Programme B :
Étapeavec 3avec 4
Nombre choisi34
Multiplie par 3912
Ajoute 31215
Les deux programmes donnent bien le même résultat avec 3 et avec 4.
2. Non, on ne peut rien en conclure. Deux essais réussis ne démontrent rien du tout.
3. La preuve tient en un seul nombre : essayons 0.
Programmeavec 0
A15
B3
Les résultats diffèrent : 0 est un contre-exemple, et un contre-exemple suffit à conclure.
Le calcul littéral montre d'où vient la coïncidence :
On appelle n le nombre choisi et on refait le programme A avec la lettre :
Nombre choisi : n
Retranche 2 : n − 2
Élève le résultat au carré : n² − 4n + 4
Ajoute 11 : n² − 4n + 15
On appelle n le nombre choisi et on refait le programme B avec la lettre :
Nombre choisi : n
Multiplie par 3 : 3n
Ajoute 3 : 3n + 3
Différence : (n² − 4n + 15) − (3n + 3) = n² − 7n + 12
soit (n − 3)(n − 4)
Cette différence s'annule pour n = 3 et pour n = 4 — précisément les deux nombres que l'énoncé faisait essayer — et pour aucun autre. L'égalité observée n'était pas une propriété des programmes : c'était un piège tendu par le choix des nombres.
La leçon. Un exemple ne prouve jamais qu'une propriété est vraie ; un seul contre-exemple suffit à prouver qu'elle est fausse. Les deux affirmations ne sont pas symétriques, et c'est l'une des idées les plus importantes de tout le collège.

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