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Si l'on y réfléchit bien, le Christ est le seul anarchiste qui ait vraiment réussi.
André Malraux
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Exemples : PYTH0123, PMDE161842, SOMP0042.
Ce thème, calcul-littéral, vous propose cinq leçons, douze pages de questions flash, six pages d'exercices (1 200 fiches), vingt-neuf devoirs (13 DS, 13 DM, 3 Brevet Blanc) en 5ème et 3ème, deux fiches de révision, quatre-vingt-dix épreuves d'annales et une page de problèmes (400 fiches).
Le calcul littéral consiste à calculer avec des lettres qui remplacent des nombres. Abordé dès la 5ème et approfondi jusqu'en 3ème, on y apprend à réduire, développer et factoriser — et surtout à s'en servir pour démontrer qu'une propriété vaut pour tous les nombres, pas seulement pour ceux qu'on a testés.
🔖 Thèmes enfants : développement (20) équations (102) factorisation (40)
📘 5ème — 13 devoirs
Devoir surveillé sans calculatrice, à rédiger sur la copie. Une énigme d'âges, à traiter par essais organisés ou par le calcul, précède l'évaluation du cours du moment : priorités opératoires, carrés et cubes, valeur d'une expression littérale et premières équations. La dernière partie révise le programme de sixième — décimaux, proportionnalité, périmètre et aire.
Une pyramide additive à trous ouvre le devoir : une seule case manquante à retrouver, par essais ou par le calcul, ce qui amène naturellement l'idée d'inconnue. La deuxième partie prépare le chapitre des puissances — table des carrés, écriture d'un nombre sous forme de carré ou de cube, valeur d'une expression littérale. La troisième est un programme de construction de sixième, avec milieu, perpendiculaire et symétrie axiale.
Ce devoir évalue les compétences sur la symétrie centrale, le repérage, le calcul d'aire, la proportionnalité et la simplification d'écritures littérales.
Ce devoir évalue le calcul de périmètres et d'aires de figures géométriques variées, la proportionnalité avec un tableau de valeurs nutritionnelles, et la simplification d'expressions littérales avec les règles d'écriture algébrique.
Compétences travaillées : utiliser la proportionnalité pour résoudre des problèmes, calculer des aires et des périmètres, manipuler et simplifier des écritures littérales, et réaliser une construction géométrique précise.
Ce devoir mobilise le raisonnement sur une situation concrète pour établir une formule générale, l'utilisation d'astuces de calcul mental et la construction géométrique précise avec cercles et droites remarquables. Les élèves développent leurs compétences en organisation et gestion de données, calcul numérique et géométrie.
Ce devoir évalue plusieurs compétences essentielles : l'interprétation et le traitement de données à travers un tableau d'effectifs et de fréquences, la compréhension des probabilités simples dans un contexte ludique, la réduction d'expressions littérales, ainsi que la construction de figures géométriques (parallélogramme, losange, rectangle).
Ce devoir mobilise plusieurs compétences essentielles. L'exercice sur le parcours de Monsieur Lapin fait appel à la logique et à la lecture d'un repère, renforçant ainsi la compréhension des coordonnées et des déplacements. L'étude des nombres périodiques permet de manipuler des écritures décimales infinies et de justifier des égalités à l'aide d'opérations algébriques.
Ce devoir mobilise des compétences en Espace et géométrie (symétrie centrale, mesure d'angles), en Nombres et calculs (modélisation et résolution de problèmes), ainsi qu'en Organisation et gestion de données (traduction d'un problème en équation). Il développe le raisonnement logique et la modélisation mathématique.
Ce devoir mobilise des compétences en Espace et géométrie (symétrie centrale, mesure d'angles), en Nombres et calculs (modélisation et résolution de problèmes), ainsi qu'en Organisation et gestion de données (traduction d'un problème en équation). Il développe le raisonnement logique et la modélisation mathématique.
Le devoir n°8 propose deux exercices visant à développer la logique et la réflexion des élèves. Nombres relatifs, calculs d'aires, initiation aux équations.
Dans ce devoir, les élèves renforceront leurs compétences en proportionnalité. Ils travailleront également les mesures et calculs géométriques pour déterminer des aires et périmètres, simplifieront des expressions littérales, et appliqueront leurs savoir-faire en construction géométrique.
Pour le devoir surveillé n°3, les compétences évaluées incluent : calcul avec priorités opératoires, tracé de segments, analyse d'un dialogue mathématique, simplification d'expressions littérales, ainsi que proportionnalité et conversions.
📕 3ème — 16 devoirs
Devoir surveillé à rédiger sur la copie, calculatrice autorisée. Il s'ouvre sur un problème de recherche — quels entiers possèdent exactement trois diviseurs — puis évalue le cours du moment : décomposition en facteurs premiers, fraction irréductible, racines carrées et encadrement, triangles semblables. La dernière partie révise le calcul littéral, la résolution d'équation et le théorème de Pythagore.
Trois entrées comme fil rouge de l'année : une pour chercher, une pour préparer le chapitre en cours, une pour réviser. Le jeu des 21 allumettes ouvre le devoir, et sa stratégie gagnante repose sur les multiples de 4 — de quoi amener le chapitre d'arithmétique. Viennent ensuite les diviseurs, la décomposition en facteurs premiers, la simplification de fraction et les racines carrées, puis un retour sur le calcul littéral et la mise en équation d'un problème de tarifs.
Ce devoir mobilise le calcul littéral à travers un programme de calcul : exprimer, développer, réduire et résoudre une équation simple. Il travaille aussi l'organisation et l'interprétation de données statistiques, avec l'étendue, la moyenne, la médiane, les effectifs et les pourcentages. Enfin, il évalue la capacité à utiliser le théorème de Pythagore, les périmètres, les aires et les conversions.
Deuxième Brevet Blanc de l'année — évaluation complète des compétences du cycle 4.
Ce devoir mobilise des compétences de raisonnement logique, de calcul et de manipulation algébrique, ainsi que la capacité à choisir et enchaîner des méthodes adaptées. Il fait aussi appel à la lecture attentive d'énoncés, à la modélisation géométrique et à la rigueur dans la rédaction des démarches.
Ces exercices mobilisent le raisonnement logique, le calcul et la géométrie, ainsi que la capacité à analyser des informations, organiser une démarche et justifier des résultats.
Ce devoir mobilise surtout les compétences sur les fractions (cycle 3 et 4), les puissances, le calcul littéral (développement et factorisation), et l'espace.
Une correction personnelle précise et détaillée du Brevet Blanc vous évaluera sur vos compétences mathématiques et numériques. Format : ODT, à livrer par mail sur l'ENT.
Ce brevet blanc mobilise l'ensemble des compétences mathématiques du cycle 4. Les élèves doivent calculer avec des nombres (proportionnalité, pourcentages, probabilités, moyenne, médiane), interpréter des données issues de tableaux, de graphiques ou de situations concrètes, et reconnaître des objets géométriques ou des grandeurs usuelles.
Compétences travaillées : décomposer un nombre en facteurs premiers, utiliser le PGCD pour résoudre un problème de pavage, rendre une fraction irréductible, calculer une probabilité et exploiter des données statistiques pour déterminer moyenne, médiane et étendue.
Ce devoir évalue des compétences variées : modélisation d'une situation avec des tarifs réduits et résolution d'un système d'équations, repérage sur la sphère terrestre en lien avec la géographie (latitude et longitude), ainsi que la maîtrise des pourcentages dans un contexte commercial.
Ce devoir surveillé évalue plusieurs compétences essentielles en mathématiques. Les élèves doivent traduire un programme de calcul en expression algébrique et résoudre une équation. Ils appliquent également la décomposition en facteurs premiers pour déterminer le PGCD et simplifier des fractions.
Ce sujet de brevet blanc évalue des compétences clés en mathématiques, telles que le calcul de probabilités, l'analyse de données, la géométrie et l'algorithmique, tout en encourageant la réflexion et l'application des notions dans des situations concrètes.
Le devoir n°4 met en jeu des compétences en géométrie (démonstration de la nature d'un triangle rectangle, construction géométrique, tracé de médiatrices) et en résolution d'équations rationnelles complexes. Ces exercices renforcent la maîtrise des propriétés géométriques et la justification des calculs angulaires.
Pour le devoir surveillé n°3, les compétences évaluées incluent : calcul de synchronisation entre événements par le PPCM, reconnaissance de triangles semblables et calcul de longueurs manquantes, utilisation de formules en électricité pour la résistance équivalente, simplification d'expressions avec fractions et décomposition en facteurs premiers pour déterminer le PGCD.
Le devoir n°1 implique des compétences en résolution de systèmes d'équations, raisonnement temporel pour synchroniser des événements récurrents (lignes de bus), et logique séquentielle. Les élèves travaillent également sur la compréhension de relations mathématiques appliquées à des scénarios quotidiens.
Fiche de révision complète sur le calcul littéral en 3ème, style prépa brevet. Couvre le développement, la réduction, la factorisation et les identités remarquables. Exercices avec correction complète.
Fiche de révision sur les équations et la mise en équation, de la 5ème jusqu'au brevet. Couvre la résolution d'équations du premier degré, la mise en équation de problèmes concrets, les inéquations et les vérifications. Exercices progressifs avec correction complète.
Le thème calcul-littéral apparaît dans 90 des 208 sujets de brevet du site (43 %), de 2008 à 2026 — environ une session sur deux. Les six sujets les plus récents :
Sujet officiel du brevet des collèges (Ministère de l'Éducation nationale), série générale, session Polynésie du 26 juin 2026, adapté au template site2wouf (LaTeX PSTricks + TikZ). Nouveau format DNB 2026 : Partie 1 – Automatismes (6 points, sans calculatrice) : 9 questions courtes (médiane, notation scientifique, aire d'un triangle, probabilité, pourcentage, développement, conversion de volumes). Partie 2 – Raisonnement et résolution de problèmes (14 points, calculatrice autorisée) : Exercice 1 — périmètres d'un rectangle et d'un triangle isocèle, tableur, programme de calcul et résolution d'une équation. Exercice 2 — figure géométrique (Thalès, Pythagore, trigonométrie). Exercice 3 — Jeux Olympiques 2024 : coordonnées géographiques de Tahiti sur une mappemonde, durée de vol et masse d'argent d'une médaille (cylindre).
Sujet officiel du brevet des collèges (Ministère de l'Éducation nationale), série générale, session Centres étrangers du 18 juin 2026, adapté au template site2wouf (pdflatex + TikZ/pgfplots). Nouveau format DNB 2026 : Partie 1 – Automatismes (6 points, sans calculatrice) : 9 questions courtes (médiane de températures, translation de motifs, probabilité, cosinus, notation scientifique, vitesse moyenne, factorisation, pourcentage, lecture graphique d'une courbe de marée). Partie 2 – Raisonnement et résolution de problèmes (14 points, calculatrice autorisée) : Exercice 1 — théorème de Thalès sur deux triangles rectangles emboîtés, longueurs et périmètres. Exercice 2 — volume d'un bonbon en forme de gélule (cylindre + deux demi-boules) et comparaison de prix de sachets. Exercice 3 — deux programmes de calcul, programmation Scratch et résolution d'une équation par identité remarquable. Corrigé détaillé inclus.
Sujet officiel du brevet des collèges (Ministère de l'Éducation nationale), série générale, session Amérique du Nord de juin 2026 (code 26GENMATAN1). Premier sujet du nouveau format DNB 2026 : Partie 1 – Automatismes (6 points, 20 min, sans calculatrice) : 8 questions courtes (calcul fractionnaire, pourcentage, nature d'un quadrilatère, équation, lecture de coordonnées, médiane, trigonométrie, diviseur d'un entier). Partie 2 – Raisonnement et résolution de problèmes (14 points, 1 h 40, calculatrice autorisée) : Exercice 1 — réciproque de Pythagore, aire, Thalès (parallélisme) et trigonométrie. Exercice 2 — fonctions f(x)=(x−1)(x+3) et g(x)=2x+1 : image, antécédent, tableur, graphique, équation f(x)=g(x). Exercice 3 — intelligence artificielle : statistiques et probabilités (base d'images), puis puissances et écriture scientifique (consommation électrique en Wh). Exercice 4 — programmation Scratch : carrés et triangles équilatéraux, coordonnées du lutin. Adapté au template site2wouf (pdflatex + TikZ/pgfplots). Corrigé détaillé inclus.
Corrigé officiel APMEP du Brevet des collèges, session Métropole de juin 2025.
Corrigé officiel APMEP du Brevet des collèges, session Polynésie de juin 2025.
Corrigé officiel APMEP du Brevet des collèges, session Nouvelle-Calédonie de décembre 2025.
Le calcul littéral, c'est calculer avec des lettres qui remplacent des nombres. Les règles n'ont pas changé — ce sont celles du calcul numérique — mais on ne peut plus aller au bout : tant que la lettre n'a pas de valeur, l'expression reste une écriture, pas un résultat. Accepter de ne pas conclure est le premier obstacle du chapitre.
Elles ne sont pas décoratives : elles suppriment le signe × là où il est deviné, et c'est cette disparition qui trompe ensuite.
3 × x s'écrit 3x · x × x s'écrit x² · 1x s'écrit x · le nombre se place avant la lettre.
Le signe × disparaît aussi devant une parenthèse : 3(x + 2) est un produit.
Conséquence directe pour la substitution : quand on remplace la lettre par un nombre, il faut remettre les signes × disparus, et mettre le nombre entre parenthèses s'il est négatif. Pour x = −3, l'expression x² vaut (−3)², c'est-à-dire 9 — et non −9.
Développer et factoriser sont exactement opposés. Une consigne demande l'un ou l'autre : se tromper de sens donne un travail juste et hors sujet.
(a + b)² = a² + 2ab + b²
(a − b)² = a² − 2ab + b²
(a + b)(a − b) = a² − b²
Ce ne sont pas des formules à part : ce sont trois développements fréquents qu'on a mémorisés pour ne plus avoir à les refaire. Leur première vertu est là — faire gagner du temps, et d'abord quand on développe : reconnaître (x + 5)² dispense d'écrire la double distributivité, donc d'y perdre un signe en chemin. Lues de droite à gauche, elles servent aussi à factoriser — c'est le sens que les élèves reconnaissent le moins bien, et celui qui ouvre les équations produit nul.
C'est le point qui éclaire tout le reste, et qu'on énonce rarement. Selon le contexte, la lettre ne fait pas le même travail :
Ce troisième rôle est le plus puissant et le plus déroutant : c'est celui qui permet de démontrer. Vérifier une conjecture sur trois exemples ne prouve rien ; la traduire en expression littérale et la réduire la prouve pour tous les nombres d'un coup. Au brevet, c'est l'objet d'un exercice presque rituel : « Démontrer que ce programme de calcul donne toujours… ».
Au brevet, le calcul littéral apparaît sous deux formes. En technique pure : développer, factoriser, réduire — souvent dans la partie automatismes. Et en démonstration : le programme de calcul, où l'on demande de prouver un résultat pour tous les nombres. Cette seconde forme est la plus rentable à travailler, parce que la technique seule ne suffit pas : il faut choisir la lettre, traduire, puis conclure par une phrase.
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