🏷 Thème : 4ème

Ce qui change en 4ème

Si la 5ème est l'année où l'on commence à démontrer, la 4ème est celle où l'on reçoit les outils. Pythagore, Thalès, le cosinus : trois théorèmes arrivent coup sur coup, et avec eux une exigence nouvelle — savoir lequel s'applique, et dans quel sens. C'est aussi l'année où les opérations se complètent et où la lettre cesse de décrire pour se mettre à résoudre.

1. Les opérations se complètent

Tout ce qui avait été commencé en 5ème se termine : les nombres relatifs passent à la multiplication et à la division — la règle des signes —, les fractions aussi, avec l'inverse d'un nombre, et les puissances s'étendent aux exposants négatifs, ce qui ouvre la notation scientifique.

2. Les grands théorèmes — et leur réciproque

C'est le tournant de l'année. Pythagore arrive avec sa réciproque, Thalès dans sa configuration des triangles emboîtés, le cosinus d'un angle aigu, la droite des milieux et le cercle circonscrit au triangle rectangle. Chacun se présente en deux versions jumelles, l'une pour calculer, l'autre pour démontrer — et les confondre est l'erreur de raisonnement la plus coûteuse du collège.

3. La lettre se met à résoudre

Le calcul littéral franchit une marche : après avoir produit et réduit des expressions en 5ème, on développe avec la distributivité et l'on factorise. Surtout, on met un problème en équation : la lettre devient une inconnue qu'on cherche, et non plus seulement une place à remplir.

L'année, domaine par domaine

• Nombres et calculs — relatifs en multiplication et division, écritures fractionnaires et inverse, puissances d'exposant entier et notation scientifique.
• Espace et géométrie — Pythagore et sa réciproque, triangle rectangle et cercle circonscrit, droite des milieux, Thalès, cosinus, distance d'un point à une droite et tangente à un cercle, translation.
• Données et probabilités — moyenne, médiane et étendue en statistiques ; premiers calculs de probabilités, arbres et tableaux pour dénombrer les issues.
• Proportionnalité — quatrième proportionnelle, pourcentages, échelles, vitesses, et les grandeurs composées avec leurs conversions.
• La pensée informatique — les conditions et la variable, écrire un programme simple et, tout aussi important, modifier un programme donné pour changer son comportement.

Où ça bloque le plus souvent

• Employer un théorème dans le mauvais sens. Le théorème direct suppose l'angle droit ou le parallélisme ; c'est la réciproque qui l'établit. Écrire « d'après Pythagore, donc le triangle est rectangle » est un raisonnement circulaire, et l'erreur passe inaperçue tant qu'on ne s'est pas posé la question une fois pour toutes.
• La règle des signes. Additionner des relatifs et les multiplier obéissent à des règles différentes ; les avoir apprises à un an d'écart n'aide pas. Le produit de deux négatifs est positif, leur somme ne l'est jamais.
• Développer quand on demande de factoriser. Les deux gestes sont inverses, le travail peut être irréprochable et sans valeur. Lire le verbe de la consigne avant de calculer.
• Mettre en équation. La résolution est mécanique ; c'est le passage du texte à l'équation qui coûte. Nommer explicitement ce que représente l'inconnue, avant toute chose, résout la moitié du problème.

Ce que la 4ème prépare

La 3ème n'ouvre presque aucun chantier neuf : elle achève ceux-ci. Un outil mal installé en 4ème se paiera donc deux fois, à l'année suivante puis au brevet.

• Le cosinus est rejoint par le sinus et la tangente, et Thalès par sa configuration en papillon.
• La factorisation reçoit les identités remarquables et débouche sur l'équation produit nul.
• Les fonctions prennent leur nom, avec image, antécédent, fonctions linéaires et affines.
• Les statistiques ajoutent quartiles et boîtes à moustaches, et la translation conduit aux vecteurs.