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Les statistiques sont formelles : il y a de plus en plus d'étrangers dans le monde

Pierre Desproges

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Fiche n°
vendredi 13 novembre 2026

Le programme à exécuter, et la question de contrôle :

Le programme de calcul

Voici deux programmes de calcul :
Programme A
  1. Choisis un nombre.
  2. Multiplie par 2.
  3. Ajoute 7.
Programme B
  1. Choisis un nombre.
  2. Retranche 3.
  3. Élève le résultat au carré.
  4. Ajoute 13.
Réponds aux trois questions, dans l'ordre : la première se fait de tête, la dernière demande une démonstration.
  1. Applique les deux programmes au nombre 3, puis au nombre 5.
  2. Peut-on en conclure que les deux programmes donnent toujours le même résultat ?
  3. Prouve ta réponse.
Fais tes calculs au brouillon, puis rédige.

Un cahier d'exercices de 128 pages ...

Le cahier : 5,40 €

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Corrigé :

Le programme de calcul — Correction

1. Programme A :
Étapeavec 3avec 5
Nombre choisi35
Multiplie par 2610
Ajoute 71317
Programme B :
Étapeavec 3avec 5
Nombre choisi35
Retranche 302
Élève le résultat au carré04
Ajoute 131317
Les deux programmes donnent bien le même résultat avec 3 et avec 5.
2. Non, on ne peut rien en conclure. Deux essais réussis ne démontrent rien du tout.
3. La preuve tient en un seul nombre : essayons 0.
Programmeavec 0
A7
B22
Les résultats diffèrent : 0 est un contre-exemple, et un contre-exemple suffit à conclure.
Le calcul littéral montre d'où vient la coïncidence :
On appelle n le nombre choisi et on refait le programme A avec la lettre :
Nombre choisi : n
Multiplie par 2 : 2n
Ajoute 7 : 2n + 7
On appelle n le nombre choisi et on refait le programme B avec la lettre :
Nombre choisi : n
Retranche 3 : n − 3
Élève le résultat au carré : n² − 6n + 9
Ajoute 13 : n² − 6n + 22
Différence : (n² − 6n + 22) − (2n + 7) = n² − 8n + 15
soit (n − 3)(n − 5)
Cette différence s'annule pour n = 3 et pour n = 5 — précisément les deux nombres que l'énoncé faisait essayer — et pour aucun autre. L'égalité observée n'était pas une propriété des programmes : c'était un piège tendu par le choix des nombres.
La leçon. Un exemple ne prouve jamais qu'une propriété est vraie ; un seul contre-exemple suffit à prouver qu'elle est fausse. Les deux affirmations ne sont pas symétriques, et c'est l'une des idées les plus importantes de tout le collège.

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