site2wouf.fr : Le programme du jour

D'après une étude américaine, 20% des habitants de notre planète parle anglais. Oui, les 80% restant n'ont pas compris la question.

Jean Yanne

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Fiche n°
dimanche 13 décembre 2026

Le programme à exécuter, et la question de contrôle :

Le programme de calcul

Voici deux programmes de calcul :
Programme A
  1. Choisis un nombre.
  2. Retranche 1.
  3. Élève le résultat au carré.
  4. Ajoute 8.
Programme B
  1. Choisis un nombre.
  2. Multiplie par 3.
  3. Ajoute 3.
Réponds aux trois questions, dans l'ordre : la première se fait de tête, la dernière demande une démonstration.
  1. Applique les deux programmes au nombre 2, puis au nombre 3.
  2. Peut-on en conclure que les deux programmes donnent toujours le même résultat ?
  3. Prouve ta réponse.
Fais tes calculs au brouillon, puis rédige.

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Corrigé :

Le programme de calcul — Correction

1. Programme A :
Étapeavec 2avec 3
Nombre choisi23
Retranche 112
Élève le résultat au carré14
Ajoute 8912
Programme B :
Étapeavec 2avec 3
Nombre choisi23
Multiplie par 369
Ajoute 3912
Les deux programmes donnent bien le même résultat avec 2 et avec 3.
2. Non, on ne peut rien en conclure. Deux essais réussis ne démontrent rien du tout.
3. La preuve tient en un seul nombre : essayons 0.
Programmeavec 0
A9
B3
Les résultats diffèrent : 0 est un contre-exemple, et un contre-exemple suffit à conclure.
Le calcul littéral montre d'où vient la coïncidence :
On appelle n le nombre choisi et on refait le programme A avec la lettre :
Nombre choisi : n
Retranche 1 : n − 1
Élève le résultat au carré : n² − 2n + 1
Ajoute 8 : n² − 2n + 9
On appelle n le nombre choisi et on refait le programme B avec la lettre :
Nombre choisi : n
Multiplie par 3 : 3n
Ajoute 3 : 3n + 3
Différence : (n² − 2n + 9) − (3n + 3) = n² − 5n + 6
soit (n − 2)(n − 3)
Cette différence s'annule pour n = 2 et pour n = 3 — précisément les deux nombres que l'énoncé faisait essayer — et pour aucun autre. L'égalité observée n'était pas une propriété des programmes : c'était un piège tendu par le choix des nombres.
La leçon. Un exemple ne prouve jamais qu'une propriété est vraie ; un seul contre-exemple suffit à prouver qu'elle est fausse. Les deux affirmations ne sont pas symétriques, et c'est l'une des idées les plus importantes de tout le collège.

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