site2wouf.fr : Les bidons du jour

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Fiche n°
samedi 16 mai 2026

Les deux bidons, la règle du jeu et les trois questions :

Les deux bidons

Vous disposez de deux bidons sans aucune graduation : l'un contient 16 litres, l'autre 11 litres. Vous êtes au bord d'une rivière.
16 L11 L
Trois gestes seulement sont autorisés :
  • remplir complètement un bidon à la rivière ;
  • vider entièrement un bidon par terre ;
  • transvaser un bidon dans l'autre, jusqu'à ce que le premier soit vide ou que le second soit plein.
Impossible donc de « remplir à moitié » : on ne peut pas mesurer à l'œil, seuls comptent les bidons pleins ou vides.
Les trois questions montent en difficulté : la dernière demande de raisonner sur tous les volumes à la fois.
  1. Pour se lancer : obtenir exactement 5 litres dans l'un des deux bidons. Décrire les gestes.
  2. Obtenir exactement 8 litres dans l'un des deux bidons. Décrire les gestes — ou démontrer que c'est impossible.
  3. Quels sont TOUS les volumes que l'on peut obtenir avec ces deux bidons ? Justifier.

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Corrigé :

Les deux bidons — Correction

Comment noter les choses. On décrit la situation par un couple : le contenu du bidon de 16 L, puis celui du bidon de 11 L. On part de (0 ; 0), et chaque geste fait passer d'un couple au suivant. Le problème devient alors un parcours, et non plus une devinette.
1. Pour obtenir 5 L :
GesteBidon de 16 LBidon de 11 L
Départ0 L0 L
1. remplir le bidon de 16 L16 L0 L
2. transvaser le 16 L dans le 11 L5 L11 L
En 2 gestes, on a bien 5 L.
2. Pour obtenir 8 L :
GesteBidon de 16 LBidon de 11 L
Départ0 L0 L
1. remplir le bidon de 11 L0 L11 L
2. transvaser le 11 L dans le 16 L11 L0 L
3. remplir le bidon de 11 L11 L11 L
4. transvaser le 11 L dans le 16 L16 L6 L
5. vider le bidon de 16 L0 L6 L
6. transvaser le 11 L dans le 16 L6 L0 L
7. remplir le bidon de 11 L6 L11 L
8. transvaser le 11 L dans le 16 L16 L1 L
9. vider le bidon de 16 L0 L1 L
10. transvaser le 11 L dans le 16 L1 L0 L
11. remplir le bidon de 11 L1 L11 L
12. transvaser le 11 L dans le 16 L12 L0 L
13. remplir le bidon de 11 L12 L11 L
14. transvaser le 11 L dans le 16 L16 L7 L
15. vider le bidon de 16 L0 L7 L
16. transvaser le 11 L dans le 16 L7 L0 L
17. remplir le bidon de 11 L7 L11 L
18. transvaser le 11 L dans le 16 L16 L2 L
19. vider le bidon de 16 L0 L2 L
20. transvaser le 11 L dans le 16 L2 L0 L
21. remplir le bidon de 11 L2 L11 L
22. transvaser le 11 L dans le 16 L13 L0 L
23. remplir le bidon de 11 L13 L11 L
24. transvaser le 11 L dans le 16 L16 L8 L
En 24 gestes, l'un des bidons contient exactement 8 litres.
16 L16 L11 L8 L
La situation finale.
C'est la solution la plus courte : aucune suite de moins de 24 gestes n'y parvient. D'autres chemins existent, plus longs.
3. Listons ce que l'on peut atteindre. En explorant toutes les situations possibles, les volumes obtenus sont :
0 L, 1 L, 2 L, 3 L, 4 L, 5 L, 6 L, 7 L, 8 L, 9 L, 10 L, 11 L, 12 L, 13 L, 14 L, 15 L, 16 L.
Ce sont exactement les multiples de 1 compris entre 0 et 16 — et 1 est le PGCD de 16 et 11.
Ici PGCD(16 ; 11) = 1 : tous les volumes entiers de 0 à 16 litres sont réalisables.
Le résultat général. Avec deux bidons de contenances a et b, on peut obtenir exactement les multiples de PGCD(a ; b), et rien d'autre. En particulier, si a et b n'ont aucun diviseur commun autre que 1, tous les volumes entiers sont atteignables — aussi étonnant que cela paraisse avec deux bidons non gradués.
Pour aller plus loin. Ce résultat porte un nom : c'est le théorème de Bézout. Obtenir un volume v revient à trouver deux entiers u et w tels que u × a + w × b = v — remplir u fois le premier bidon et vider w fois le second.

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