🏷 Thème : Arithmétique

Ce qu'il faut savoir

L'arithmétique étudie les nombres entiers pour eux-mêmes : comment ils se divisent, comment ils se fabriquent les uns à partir des autres. C'est le seul chapitre du collège où l'on quitte le calcul pour regarder la structure des nombres — et cette bascule est ce qui le rend déroutant.

Diviseur, multiple : une seule relation, deux points de vue

Dire que 6 divise 24, que 6 est un diviseur de 24, ou que 24 est un multiple de 6, c'est dire trois fois la même chose. Un seul fait : la division de 24 par 6 tombe juste, sans reste. Le vocabulaire change selon le nombre qu'on regarde, pas selon la situation.

Les critères de divisibilité permettent de le voir sans poser l'opération : par 2 selon le chiffre des unités, par 5 de même, par 3 et par 9 selon la somme des chiffres, par 4 selon les deux derniers chiffres. Ce sont des raccourcis, mais ils ont un fond : chacun se démontre, et cette démonstration relève du calcul littéral.

Les nombres premiers, briques de tous les autres

Un nombre premier est un entier qui n'admet exactement deux diviseurs : 1 et lui-même. Cette formulation vaut mieux que « divisible seulement par 1 et par lui-même », parce qu'elle règle d'emblée le cas de 1 — qui n'a qu'un seul diviseur, et n'est donc pas premier. Ce n'est pas une chicane de vocabulaire : si 1 était premier, tout ce qui suit s'effondrerait.

L'unicité est le point à retenir, et c'est celui qu'on énonce le moins. Elle fait de la décomposition une véritable carte d'identité : 60 s'écrit 2² × 3 × 5, et aucun autre produit de nombres premiers ne donne 60. Deux nombres ayant la même décomposition sont le même nombre. C'est pour cette raison qu'on peut lire sur les décompositions ce qu'on ne verrait pas sur les nombres eux-mêmes — leurs diviseurs communs, par exemple.

D'où l'articulation avec le reste du chapitre : une fois deux nombres décomposés, leur PGCD se lit directement en gardant les facteurs communs. Le calcul du PGCD, l'algorithme d'Euclide et les fractions irréductibles sont traités en détail sur cette page-là.

Les erreurs classiques

• 1.Croire que 1 est premier. Il n'a qu'un seul diviseur, lui-même ; un nombre premier en a exactement deux. L'exclure n'est pas arbitraire : si on l'admettait, 12 pourrait s'écrire 2² × 3, ou 1 × 2² × 3, ou 1² × 2² × 3 — et l'unicité de la décomposition disparaîtrait.
• 2.Confondre diviseur et multiple. Les diviseurs d'un nombre sont plus petits que lui et en nombre fini ; ses multiples sont plus grands et en nombre infini. Quand le doute s'installe, revenir à l'exemple : 6 divise 24, donc 24 est dans la table de 6.
• 3.S'arrêter trop tôt dans la décomposition. Tant qu'un facteur n'est pas premier, le travail n'est pas fini : écrire 60 = 4 × 15 n'est pas une décomposition en facteurs premiers, puisque ni 4 ni 15 ne sont premiers.
• 4.Chercher des diviseurs trop loin. Pour savoir si un nombre est premier, il est inutile de tester au-delà de sa racine carrée : si un diviseur existait au-dessus, son complémentaire serait en dessous et aurait déjà été trouvé. Pour 97, tester jusqu'à 9 suffit.
• 5.Oublier les critères de divisibilité. Beaucoup d'élèves posent des divisions là où un coup d'œil suffirait. La somme des chiffres de 4 731 vaut 15, donc le nombre est divisible par 3 : aucune opération n'a été nécessaire.
• 6.Confondre « premiers » et « premiers entre eux ». Deux nombres premiers entre eux n'ont aucun diviseur commun sauf 1, sans qu'aucun des deux ne soit forcément premier : 8 et 9 en sont l'exemple type.

Avant et après

Ce qu'il faut maîtriser avant

• La division euclidienne et la notion de reste : tout le chapitre repose sur la question « est-ce que ça tombe juste ? ».
• Les tables de multiplication et le calcul mental, qui rendent la recherche de diviseurs rapide plutôt que pénible.
• Les puissances, pour écrire une décomposition proprement.

Ce que ça prépare

• Le PGCD et la simplification des fractions, application directe de la décomposition.
• La cryptographie : la difficulté de décomposer un très grand nombre est ce qui protège aujourd'hui les communications chiffrées. Multiplier deux nombres premiers est immédiat ; retrouver ces deux facteurs à partir du produit ne l'est pas.
• Les démonstrations en calcul littéral : prouver qu'un nombre est pair, qu'une somme est divisible par 3, qu'un résultat ne dépend pas du nombre choisi.
• Au lycée et au-delà : congruences, arithmétique modulaire, et l'infinité des nombres premiers — démontrée par Euclide il y a plus de deux mille ans.