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Tous les hommes seraient des tyrans s'ils le pouvaient.
Daniel Defoe ( Sur mon T-shirt)
Explorez l'intégralité de la collection. Chaque problème donne deux contenances et un volume à obtenir : parfois en quelques gestes, parfois jamais — et il faut alors le démontrer.
📍 Vous consultez actuellement le problème n°228
Ces 400 problèmes reposent tous sur la même situation : deux bidons sans graduation, une rivière, et le droit de vider par terre. Comment obtenir un volume précis ?
Derrière l'énigme se cache un résultat d'arithmétique : les volumes atteignables sont exactement les multiples du PGCD des deux contenances. Avec 8 L et 5 L, tout est possible ; avec 8 L et 6 L, aucun volume impair ne l'est, quelle que soit l'ingéniosité déployée.
Chaque fiche est accompagnée d'une correction complète au format PDF, avec le tableau des transvasements, ainsi que de sa source LaTeX.
💡 La solution publiée est la plus courte : elle est calculée par exploration systématique de toutes les situations possibles, et non trouvée à tâtons. Quand une fiche annonce « en 6 gestes », aucune suite de 5 gestes n'y parvient.
🎓 Utilisation pédagogique : excellent support pour introduire le PGCD autrement que par la division euclidienne. L'élève manipule d'abord, découvre que certains volumes résistent, puis comprend pourquoi. C'est le sens inverse du cours habituel, et il fonctionne bien.
🔒 L'invariant : à tout instant, le contenu de chaque bidon est un multiple du PGCD. Remplir met a ou b litres, vider met 0, transvaser ajoute à l'un ce qu'il retire à l'autre — aucun geste ne peut créer un volume qui ne soit pas multiple du PGCD. La propriété est vraie au départ, chaque geste la conserve : elle est donc vraie pour toujours.
📐 Le théorème de Bézout : obtenir un volume v revient à trouver deux entiers u et w tels que u × a + w × b = v. Ce résultat, démontré au lycée, se rencontre ici sous forme de jeu — et beaucoup d'élèves le redécouvrent seuls.
J'ai réalisé cette activité en Python, en utilisant xhtml2pdf pour la version PDF des activités. Mon travail est sous licence Creative commons.
La version actuelle est la version 3.2.0 (28/11/2023)
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Exemples : PYTH0123, PMDE161842, SOMP0042.