site2wouf.fr : La tournée du jour

La supériorité de l'animal sur l'homme, c'est que chez l'animal il n'y a pas de chanteuses.

Jean-Jacques Peroni

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💡 Principe, méthode et clés du problème

✉️ Le problème

Le plan d’un quartier : des carrefours, des rues. Le facteur veut emprunter chaque rue exactement une fois. Il peut repasser par un carrefour autant qu’il veut.

Selon le plan, c’est tantôt facile, tantôt strictement impossible — et l’on peut le dire d’avance, sans tracer le moindre itinéraire.

🪜 Les trois questions

  • 1.Compter les rues aboutissant à chaque carrefour. Du dénombrement, rien de plus.
  • 2.Que consomme le facteur lorsqu’il traverse un carrefour ? Qu’en déduire pour les carrefours impairs ?
  • 3.Conclure : donner un itinéraire en précisant le départ, ou démontrer l’impossibilité.

La difficulté monte volontairement : la première question se traite à la main, la dernière demande une preuve valable dans tous les cas.

🔑 La clé

Quand le facteur traverse un carrefour, il y entre par une rue et en ressort par une autre : il les consomme deux par deux. Un carrefour traversé trois fois voit six de ses rues utilisées — toujours un nombre pair.

Un carrefour où aboutit un nombre impair de rues ne peut donc pas être seulement traversé : il doit être le départ ou l’arrivée. Comme il n’y a qu’un départ et qu’une arrivée, il ne peut y avoir plus de deux carrefours impairs.

Le critère d’Euler : si le plan est d’un seul tenant, la tournée est possible si et seulement si le nombre de carrefours impairs vaut 0 (on revient au point de départ) ou 2 (on part de l’un, on finit à l’autre). Avec exactement deux carrefours impairs, le point de départ n’est pas libre : partir d’ailleurs condamne la tournée.

🖨 Support imprimable

Chaque problème est téléchargeable au format PDF avec sa correction détaillée, plan compris. La source LaTeX est également disponible.

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Fiche n°
dimanche 16 août 2026 (Aujourd'hui)

Le plan du quartier et les trois questions :

La tournée du facteur

Voici le plan d'un quartier. Les lettres désignent les carrefours, les traits les rues. Il y a 10 rues en tout : [AC], [AE], [AF], [BC], [BD], [BE], [CD], [CE], [DE], [EF].
ABCDEF
Le facteur voudrait emprunter chaque rue exactement une fois — ni deux fois la même, ni en oublier. Il peut passer plusieurs fois par un même carrefour, cela ne le dérange pas.
Les questions se suivent : la première n'est qu'un comptage, la dernière demande une preuve.
  1. Pour chaque carrefour, compter le nombre de rues qui y aboutissent. Présenter les résultats dans un tableau.
  2. Le facteur imagine sa tournée. À chaque fois qu'il traverse un carrefour, combien de rues utilise-t-il ? Qu'en déduire pour les carrefours où aboutit un nombre impair de rues ?
  3. La tournée est-elle possible ? Si oui, en donner une en précisant le point de départ ; si non, le démontrer.
📄 Voir la correction de l'activité du jour

✉️ Catalogue complet : 400 problèmes

Explorez l'intégralité de la collection. Chaque problème donne le plan d'un quartier : le facteur peut-il emprunter chaque rue exactement une fois ?

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📍 Vous consultez actuellement le problème n°228

📚 À propos de cette collection

Ces 400 problèmes posent la même question devant des plans toujours différents : peut-on parcourir chaque rue exactement une fois ?

La réponse ne demande aucun essai. Elle tient à la parité du nombre de rues aboutissant à chaque carrefour : 0 carrefour impair et la tournée est un circuit fermé ; 2 et elle est possible en partant de l'un pour finir à l'autre ; 4 ou plus et c'est impossible.

Chaque fiche est accompagnée d'une correction complète au format PDF, plan compris, ainsi que de sa source LaTeX.

🔢 Le raisonnement, en une phrase : quand le facteur traverse un carrefour, il y entre par une rue et en ressort par une autre — il consomme les rues deux par deux. Un carrefour à nombre impair de rues ne peut donc être que le départ ou l'arrivée. Et il n'y a qu'un départ et qu'une arrivée.

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🎓 Utilisation pédagogique : une entrée idéale vers la théorie des graphes, accessible dès la 5ᵉ car elle ne demande que de compter et de raisonner sur la parité. Les élèves les plus en difficulté avec le calcul y réussissent souvent très bien.

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🌉 Les ponts de Königsberg : en 1736, les habitants de cette ville cherchaient une promenade franchissant ses sept ponts une seule fois chacun. Euler démontra que c'était impossible — les quatre quartiers avaient tous un nombre impair de ponts. C'est l'acte de naissance de la théorie des graphes.

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📮 Et quand c'est impossible ? Le facteur doit repasser par certaines rues. Minimiser ces répétitions s'appelle le problème du postier chinois, posé en 1962 par Meigu Guan — et il est encore utilisé aujourd'hui pour organiser les tournées de ramassage des ordures ou de déneigement.

// Remarques, codes, note de version etc...

J'ai réalisé cette activité en Python, en utilisant xhtml2pdf pour la version PDF des activités. Mon travail est sous licence Creative commons.

La version actuelle est la version 3.2.0 (28/11/2023)

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