site2wouf.fr : Les bidons du jour

In theory, there is no difference between theory and practice. In practice, there is.

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Fiche n°
mercredi 27 mai 2026

Les deux bidons, la règle du jeu et les trois questions :

Les deux bidons

Vous disposez de deux bidons sans aucune graduation : l'un contient 17 litres, l'autre 3 litres. Vous êtes au bord d'une rivière.
17 L3 L
Trois gestes seulement sont autorisés :
  • remplir complètement un bidon à la rivière ;
  • vider entièrement un bidon par terre ;
  • transvaser un bidon dans l'autre, jusqu'à ce que le premier soit vide ou que le second soit plein.
Impossible donc de « remplir à moitié » : on ne peut pas mesurer à l'œil, seuls comptent les bidons pleins ou vides.
Les trois questions montent en difficulté : la dernière demande de raisonner sur tous les volumes à la fois.
  1. Pour se lancer : obtenir exactement 14 litres dans l'un des deux bidons. Décrire les gestes.
  2. Obtenir exactement 12 litres dans l'un des deux bidons. Décrire les gestes — ou démontrer que c'est impossible.
  3. Quels sont TOUS les volumes que l'on peut obtenir avec ces deux bidons ? Justifier.

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Corrigé :

Les deux bidons — Correction

Comment noter les choses. On décrit la situation par un couple : le contenu du bidon de 17 L, puis celui du bidon de 3 L. On part de (0 ; 0), et chaque geste fait passer d'un couple au suivant. Le problème devient alors un parcours, et non plus une devinette.
1. Pour obtenir 14 L :
GesteBidon de 17 LBidon de 3 L
Départ0 L0 L
1. remplir le bidon de 17 L17 L0 L
2. transvaser le 17 L dans le 3 L14 L3 L
En 2 gestes, on a bien 14 L.
2. Pour obtenir 12 L :
GesteBidon de 17 LBidon de 3 L
Départ0 L0 L
1. remplir le bidon de 3 L0 L3 L
2. transvaser le 3 L dans le 17 L3 L0 L
3. remplir le bidon de 3 L3 L3 L
4. transvaser le 3 L dans le 17 L6 L0 L
5. remplir le bidon de 3 L6 L3 L
6. transvaser le 3 L dans le 17 L9 L0 L
7. remplir le bidon de 3 L9 L3 L
8. transvaser le 3 L dans le 17 L12 L0 L
En 8 gestes, l'un des bidons contient exactement 12 litres.
17 L12 L3 L0 L
La situation finale.
C'est la solution la plus courte : aucune suite de moins de 8 gestes n'y parvient. D'autres chemins existent, plus longs.
3. Listons ce que l'on peut atteindre. En explorant toutes les situations possibles, les volumes obtenus sont :
0 L, 1 L, 2 L, 3 L, 4 L, 5 L, 6 L, 7 L, 8 L, 9 L, 10 L, 11 L, 12 L, 13 L, 14 L, 15 L, 16 L, 17 L.
Ce sont exactement les multiples de 1 compris entre 0 et 17 — et 1 est le PGCD de 17 et 3.
Ici PGCD(17 ; 3) = 1 : tous les volumes entiers de 0 à 17 litres sont réalisables.
Le résultat général. Avec deux bidons de contenances a et b, on peut obtenir exactement les multiples de PGCD(a ; b), et rien d'autre. En particulier, si a et b n'ont aucun diviseur commun autre que 1, tous les volumes entiers sont atteignables — aussi étonnant que cela paraisse avec deux bidons non gradués.
Pour aller plus loin. Ce résultat porte un nom : c'est le théorème de Bézout. Obtenir un volume v revient à trouver deux entiers u et w tels que u × a + w × b = v — remplir u fois le premier bidon et vider w fois le second.

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