site2wouf.fr : Les bidons du jour

La vie a besoin d'illusions, c'est-à-dire de non-vérités tenues pour des vérités.

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Fiche n°
dimanche 6 septembre 2026

Les deux bidons, la règle du jeu et les trois questions :

Les deux bidons

Vous disposez de deux bidons sans aucune graduation : l'un contient 12 litres, l'autre 10 litres. Vous êtes au bord d'une rivière.
12 L10 L
Trois gestes seulement sont autorisés :
  • remplir complètement un bidon à la rivière ;
  • vider entièrement un bidon par terre ;
  • transvaser un bidon dans l'autre, jusqu'à ce que le premier soit vide ou que le second soit plein.
Impossible donc de « remplir à moitié » : on ne peut pas mesurer à l'œil, seuls comptent les bidons pleins ou vides.
Les trois questions montent en difficulté : la dernière demande de raisonner sur tous les volumes à la fois.
  1. Pour se lancer : obtenir exactement 2 litres dans l'un des deux bidons. Décrire les gestes.
  2. Obtenir exactement 8 litres dans l'un des deux bidons. Décrire les gestes — ou démontrer que c'est impossible.
  3. Quels sont TOUS les volumes que l'on peut obtenir avec ces deux bidons ? Justifier.

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Corrigé :

Les deux bidons — Correction

Comment noter les choses. On décrit la situation par un couple : le contenu du bidon de 12 L, puis celui du bidon de 10 L. On part de (0 ; 0), et chaque geste fait passer d'un couple au suivant. Le problème devient alors un parcours, et non plus une devinette.
1. Pour obtenir 2 L :
GesteBidon de 12 LBidon de 10 L
Départ0 L0 L
1. remplir le bidon de 12 L12 L0 L
2. transvaser le 12 L dans le 10 L2 L10 L
En 2 gestes, on a bien 2 L.
2. Pour obtenir 8 L :
GesteBidon de 12 LBidon de 10 L
Départ0 L0 L
1. remplir le bidon de 10 L0 L10 L
2. transvaser le 10 L dans le 12 L10 L0 L
3. remplir le bidon de 10 L10 L10 L
4. transvaser le 10 L dans le 12 L12 L8 L
En 4 gestes, l'un des bidons contient exactement 8 litres.
12 L12 L10 L8 L
La situation finale.
C'est la solution la plus courte : aucune suite de moins de 4 gestes n'y parvient. D'autres chemins existent, plus longs.
3. Listons ce que l'on peut atteindre. En explorant toutes les situations possibles, les volumes obtenus sont :
0 L, 2 L, 4 L, 6 L, 8 L, 10 L, 12 L.
Ce sont exactement les multiples de 2 compris entre 0 et 12 — et 2 est le PGCD de 12 et 10.
Ici PGCD(12 ; 10) = 2 : seuls les multiples de 2 sont réalisables — soit 7 volumes sur les 13 envisageables.
Le résultat général. Avec deux bidons de contenances a et b, on peut obtenir exactement les multiples de PGCD(a ; b), et rien d'autre. En particulier, si a et b n'ont aucun diviseur commun autre que 1, tous les volumes entiers sont atteignables — aussi étonnant que cela paraisse avec deux bidons non gradués.
Pour aller plus loin. Ce résultat porte un nom : c'est le théorème de Bézout. Obtenir un volume v revient à trouver deux entiers u et w tels que u × a + w × b = v — remplir u fois le premier bidon et vider w fois le second.

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