site2wouf.fr : Les bidons du jour

Il semble parfois que Dieu, en créant l'homme, ait quelque peu surestimé ses capacités.

Oscar Wilde(sur Mon tshirt!)

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Fiche n°
lundi 26 janvier 2026

Les deux bidons, la règle du jeu et les trois questions :

Les deux bidons

Vous disposez de deux bidons sans aucune graduation : l'un contient 18 litres, l'autre 8 litres. Vous êtes au bord d'une rivière.
18 L8 L
Trois gestes seulement sont autorisés :
  • remplir complètement un bidon à la rivière ;
  • vider entièrement un bidon par terre ;
  • transvaser un bidon dans l'autre, jusqu'à ce que le premier soit vide ou que le second soit plein.
Impossible donc de « remplir à moitié » : on ne peut pas mesurer à l'œil, seuls comptent les bidons pleins ou vides.
Les trois questions montent en difficulté : la dernière demande de raisonner sur tous les volumes à la fois.
  1. Pour se lancer : obtenir exactement 10 litres dans l'un des deux bidons. Décrire les gestes.
  2. Obtenir exactement 4 litres dans l'un des deux bidons. Décrire les gestes — ou démontrer que c'est impossible.
  3. Quels sont TOUS les volumes que l'on peut obtenir avec ces deux bidons ? Justifier.

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Corrigé :

Les deux bidons — Correction

Comment noter les choses. On décrit la situation par un couple : le contenu du bidon de 18 L, puis celui du bidon de 8 L. On part de (0 ; 0), et chaque geste fait passer d'un couple au suivant. Le problème devient alors un parcours, et non plus une devinette.
1. Pour obtenir 10 L :
GesteBidon de 18 LBidon de 8 L
Départ0 L0 L
1. remplir le bidon de 18 L18 L0 L
2. transvaser le 18 L dans le 8 L10 L8 L
En 2 gestes, on a bien 10 L.
2. Pour obtenir 4 L :
GesteBidon de 18 LBidon de 8 L
Départ0 L0 L
1. remplir le bidon de 18 L18 L0 L
2. transvaser le 18 L dans le 8 L10 L8 L
3. vider le bidon de 8 L10 L0 L
4. transvaser le 18 L dans le 8 L2 L8 L
5. vider le bidon de 8 L2 L0 L
6. transvaser le 18 L dans le 8 L0 L2 L
7. remplir le bidon de 18 L18 L2 L
8. transvaser le 18 L dans le 8 L12 L8 L
9. vider le bidon de 8 L12 L0 L
10. transvaser le 18 L dans le 8 L4 L8 L
En 10 gestes, l'un des bidons contient exactement 4 litres.
18 L4 L8 L8 L
La situation finale.
C'est la solution la plus courte : aucune suite de moins de 10 gestes n'y parvient. D'autres chemins existent, plus longs.
3. Listons ce que l'on peut atteindre. En explorant toutes les situations possibles, les volumes obtenus sont :
0 L, 2 L, 4 L, 6 L, 8 L, 10 L, 12 L, 14 L, 16 L, 18 L.
Ce sont exactement les multiples de 2 compris entre 0 et 18 — et 2 est le PGCD de 18 et 8.
Ici PGCD(18 ; 8) = 2 : seuls les multiples de 2 sont réalisables — soit 10 volumes sur les 19 envisageables.
Le résultat général. Avec deux bidons de contenances a et b, on peut obtenir exactement les multiples de PGCD(a ; b), et rien d'autre. En particulier, si a et b n'ont aucun diviseur commun autre que 1, tous les volumes entiers sont atteignables — aussi étonnant que cela paraisse avec deux bidons non gradués.
Pour aller plus loin. Ce résultat porte un nom : c'est le théorème de Bézout. Obtenir un volume v revient à trouver deux entiers u et w tels que u × a + w × b = v — remplir u fois le premier bidon et vider w fois le second.

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