site2wouf.fr : Les bidons du jour

Quand on ne travaillera plus les lendemains de jours de repos, la fatigue sera enfin vaincue.

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Fiche n°
dimanche 4 octobre 2026

Les deux bidons, la règle du jeu et les trois questions :

Les deux bidons

Vous disposez de deux bidons sans aucune graduation : l'un contient 19 litres, l'autre 14 litres. Vous êtes au bord d'une rivière.
19 L14 L
Trois gestes seulement sont autorisés :
  • remplir complètement un bidon à la rivière ;
  • vider entièrement un bidon par terre ;
  • transvaser un bidon dans l'autre, jusqu'à ce que le premier soit vide ou que le second soit plein.
Impossible donc de « remplir à moitié » : on ne peut pas mesurer à l'œil, seuls comptent les bidons pleins ou vides.
Les trois questions montent en difficulté : la dernière demande de raisonner sur tous les volumes à la fois.
  1. Pour se lancer : obtenir exactement 5 litres dans l'un des deux bidons. Décrire les gestes.
  2. Obtenir exactement 3 litres dans l'un des deux bidons. Décrire les gestes — ou démontrer que c'est impossible.
  3. Quels sont TOUS les volumes que l'on peut obtenir avec ces deux bidons ? Justifier.

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Corrigé :

Les deux bidons — Correction

Comment noter les choses. On décrit la situation par un couple : le contenu du bidon de 19 L, puis celui du bidon de 14 L. On part de (0 ; 0), et chaque geste fait passer d'un couple au suivant. Le problème devient alors un parcours, et non plus une devinette.
1. Pour obtenir 5 L :
GesteBidon de 19 LBidon de 14 L
Départ0 L0 L
1. remplir le bidon de 19 L19 L0 L
2. transvaser le 19 L dans le 14 L5 L14 L
En 2 gestes, on a bien 5 L.
2. Pour obtenir 3 L :
GesteBidon de 19 LBidon de 14 L
Départ0 L0 L
1. remplir le bidon de 14 L0 L14 L
2. transvaser le 14 L dans le 19 L14 L0 L
3. remplir le bidon de 14 L14 L14 L
4. transvaser le 14 L dans le 19 L19 L9 L
5. vider le bidon de 19 L0 L9 L
6. transvaser le 14 L dans le 19 L9 L0 L
7. remplir le bidon de 14 L9 L14 L
8. transvaser le 14 L dans le 19 L19 L4 L
9. vider le bidon de 19 L0 L4 L
10. transvaser le 14 L dans le 19 L4 L0 L
11. remplir le bidon de 14 L4 L14 L
12. transvaser le 14 L dans le 19 L18 L0 L
13. remplir le bidon de 14 L18 L14 L
14. transvaser le 14 L dans le 19 L19 L13 L
15. vider le bidon de 19 L0 L13 L
16. transvaser le 14 L dans le 19 L13 L0 L
17. remplir le bidon de 14 L13 L14 L
18. transvaser le 14 L dans le 19 L19 L8 L
19. vider le bidon de 19 L0 L8 L
20. transvaser le 14 L dans le 19 L8 L0 L
21. remplir le bidon de 14 L8 L14 L
22. transvaser le 14 L dans le 19 L19 L3 L
En 22 gestes, l'un des bidons contient exactement 3 litres.
19 L19 L14 L3 L
La situation finale.
C'est la solution la plus courte : aucune suite de moins de 22 gestes n'y parvient. D'autres chemins existent, plus longs.
3. Listons ce que l'on peut atteindre. En explorant toutes les situations possibles, les volumes obtenus sont :
0 L, 1 L, 2 L, 3 L, 4 L, 5 L, 6 L, 7 L, 8 L, 9 L, 10 L, 11 L, 12 L, 13 L, 14 L, 15 L, 16 L, 17 L, 18 L, 19 L.
Ce sont exactement les multiples de 1 compris entre 0 et 19 — et 1 est le PGCD de 19 et 14.
Ici PGCD(19 ; 14) = 1 : tous les volumes entiers de 0 à 19 litres sont réalisables.
Le résultat général. Avec deux bidons de contenances a et b, on peut obtenir exactement les multiples de PGCD(a ; b), et rien d'autre. En particulier, si a et b n'ont aucun diviseur commun autre que 1, tous les volumes entiers sont atteignables — aussi étonnant que cela paraisse avec deux bidons non gradués.
Pour aller plus loin. Ce résultat porte un nom : c'est le théorème de Bézout. Obtenir un volume v revient à trouver deux entiers u et w tels que u × a + w × b = v — remplir u fois le premier bidon et vider w fois le second.

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