site2wouf.fr : Les bidons du jour

La théorie, c'est quand on sait tout et que rien ne fonctionne. La pratique, c'est quand tout fonctionne et que personne ne sait pourquoi. Ici, nous avons réuni théorie et pratique : Rien ne fonctionne... et personne ne sait pourquoi !

Albert Einstein

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Fiche n°
jeudi 29 octobre 2026

Les deux bidons, la règle du jeu et les trois questions :

Les deux bidons

Vous disposez de deux bidons sans aucune graduation : l'un contient 16 litres, l'autre 9 litres. Vous êtes au bord d'une rivière.
16 L9 L
Trois gestes seulement sont autorisés :
  • remplir complètement un bidon à la rivière ;
  • vider entièrement un bidon par terre ;
  • transvaser un bidon dans l'autre, jusqu'à ce que le premier soit vide ou que le second soit plein.
Impossible donc de « remplir à moitié » : on ne peut pas mesurer à l'œil, seuls comptent les bidons pleins ou vides.
Les trois questions montent en difficulté : la dernière demande de raisonner sur tous les volumes à la fois.
  1. Pour se lancer : obtenir exactement 7 litres dans l'un des deux bidons. Décrire les gestes.
  2. Obtenir exactement 11 litres dans l'un des deux bidons. Décrire les gestes — ou démontrer que c'est impossible.
  3. Quels sont TOUS les volumes que l'on peut obtenir avec ces deux bidons ? Justifier.

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Corrigé :

Les deux bidons — Correction

Comment noter les choses. On décrit la situation par un couple : le contenu du bidon de 16 L, puis celui du bidon de 9 L. On part de (0 ; 0), et chaque geste fait passer d'un couple au suivant. Le problème devient alors un parcours, et non plus une devinette.
1. Pour obtenir 7 L :
GesteBidon de 16 LBidon de 9 L
Départ0 L0 L
1. remplir le bidon de 16 L16 L0 L
2. transvaser le 16 L dans le 9 L7 L9 L
En 2 gestes, on a bien 7 L.
2. Pour obtenir 11 L :
GesteBidon de 16 LBidon de 9 L
Départ0 L0 L
1. remplir le bidon de 9 L0 L9 L
2. transvaser le 9 L dans le 16 L9 L0 L
3. remplir le bidon de 9 L9 L9 L
4. transvaser le 9 L dans le 16 L16 L2 L
5. vider le bidon de 16 L0 L2 L
6. transvaser le 9 L dans le 16 L2 L0 L
7. remplir le bidon de 9 L2 L9 L
8. transvaser le 9 L dans le 16 L11 L0 L
En 8 gestes, l'un des bidons contient exactement 11 litres.
16 L11 L9 L0 L
La situation finale.
C'est la solution la plus courte : aucune suite de moins de 8 gestes n'y parvient. D'autres chemins existent, plus longs.
3. Listons ce que l'on peut atteindre. En explorant toutes les situations possibles, les volumes obtenus sont :
0 L, 1 L, 2 L, 3 L, 4 L, 5 L, 6 L, 7 L, 8 L, 9 L, 10 L, 11 L, 12 L, 13 L, 14 L, 15 L, 16 L.
Ce sont exactement les multiples de 1 compris entre 0 et 16 — et 1 est le PGCD de 16 et 9.
Ici PGCD(16 ; 9) = 1 : tous les volumes entiers de 0 à 16 litres sont réalisables.
Le résultat général. Avec deux bidons de contenances a et b, on peut obtenir exactement les multiples de PGCD(a ; b), et rien d'autre. En particulier, si a et b n'ont aucun diviseur commun autre que 1, tous les volumes entiers sont atteignables — aussi étonnant que cela paraisse avec deux bidons non gradués.
Pour aller plus loin. Ce résultat porte un nom : c'est le théorème de Bézout. Obtenir un volume v revient à trouver deux entiers u et w tels que u × a + w × b = v — remplir u fois le premier bidon et vider w fois le second.

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