site2wouf.fr : Les bidons du jour

Ne t'inquiète pas si tu as des difficultés en maths, je peux t'assurer que les miennes sont bien plus importantes !

Albert Einstein

Partager :

Facebook X (Twitter) LinkedIn Email WhatsApp

🔑 Code de cette fiche :

imprimer LaTeX
ℹ️

Besoin d'aide sur les transvasements et le PGCD ?

Consultez la page du catalogue pour retrouver la notation par couples, l'invariant du PGCD et le lien avec le théorème de Bézout.

📚 Voir les ressources pédagogiques

Fiche n°
vendredi 18 décembre 2026

Les deux bidons, la règle du jeu et les trois questions :

Les deux bidons

Vous disposez de deux bidons sans aucune graduation : l'un contient 19 litres, l'autre 12 litres. Vous êtes au bord d'une rivière.
19 L12 L
Trois gestes seulement sont autorisés :
  • remplir complètement un bidon à la rivière ;
  • vider entièrement un bidon par terre ;
  • transvaser un bidon dans l'autre, jusqu'à ce que le premier soit vide ou que le second soit plein.
Impossible donc de « remplir à moitié » : on ne peut pas mesurer à l'œil, seuls comptent les bidons pleins ou vides.
Les trois questions montent en difficulté : la dernière demande de raisonner sur tous les volumes à la fois.
  1. Pour se lancer : obtenir exactement 7 litres dans l'un des deux bidons. Décrire les gestes.
  2. Obtenir exactement 11 litres dans l'un des deux bidons. Décrire les gestes — ou démontrer que c'est impossible.
  3. Quels sont TOUS les volumes que l'on peut obtenir avec ces deux bidons ? Justifier.

Un cahier d'exercices de 128 pages ...

Le cahier : 5,40 €

Plus de Produits

Publicité

Corrigé :

Les deux bidons — Correction

Comment noter les choses. On décrit la situation par un couple : le contenu du bidon de 19 L, puis celui du bidon de 12 L. On part de (0 ; 0), et chaque geste fait passer d'un couple au suivant. Le problème devient alors un parcours, et non plus une devinette.
1. Pour obtenir 7 L :
GesteBidon de 19 LBidon de 12 L
Départ0 L0 L
1. remplir le bidon de 19 L19 L0 L
2. transvaser le 19 L dans le 12 L7 L12 L
En 2 gestes, on a bien 7 L.
2. Pour obtenir 11 L :
GesteBidon de 19 LBidon de 12 L
Départ0 L0 L
1. remplir le bidon de 19 L19 L0 L
2. transvaser le 19 L dans le 12 L7 L12 L
3. vider le bidon de 12 L7 L0 L
4. transvaser le 19 L dans le 12 L0 L7 L
5. remplir le bidon de 19 L19 L7 L
6. transvaser le 19 L dans le 12 L14 L12 L
7. vider le bidon de 12 L14 L0 L
8. transvaser le 19 L dans le 12 L2 L12 L
9. vider le bidon de 12 L2 L0 L
10. transvaser le 19 L dans le 12 L0 L2 L
11. remplir le bidon de 19 L19 L2 L
12. transvaser le 19 L dans le 12 L9 L12 L
13. vider le bidon de 12 L9 L0 L
14. transvaser le 19 L dans le 12 L0 L9 L
15. remplir le bidon de 19 L19 L9 L
16. transvaser le 19 L dans le 12 L16 L12 L
17. vider le bidon de 12 L16 L0 L
18. transvaser le 19 L dans le 12 L4 L12 L
19. vider le bidon de 12 L4 L0 L
20. transvaser le 19 L dans le 12 L0 L4 L
21. remplir le bidon de 19 L19 L4 L
22. transvaser le 19 L dans le 12 L11 L12 L
En 22 gestes, l'un des bidons contient exactement 11 litres.
19 L11 L12 L12 L
La situation finale.
C'est la solution la plus courte : aucune suite de moins de 22 gestes n'y parvient. D'autres chemins existent, plus longs.
3. Listons ce que l'on peut atteindre. En explorant toutes les situations possibles, les volumes obtenus sont :
0 L, 1 L, 2 L, 3 L, 4 L, 5 L, 6 L, 7 L, 8 L, 9 L, 10 L, 11 L, 12 L, 13 L, 14 L, 15 L, 16 L, 17 L, 18 L, 19 L.
Ce sont exactement les multiples de 1 compris entre 0 et 19 — et 1 est le PGCD de 19 et 12.
Ici PGCD(19 ; 12) = 1 : tous les volumes entiers de 0 à 19 litres sont réalisables.
Le résultat général. Avec deux bidons de contenances a et b, on peut obtenir exactement les multiples de PGCD(a ; b), et rien d'autre. En particulier, si a et b n'ont aucun diviseur commun autre que 1, tous les volumes entiers sont atteignables — aussi étonnant que cela paraisse avec deux bidons non gradués.
Pour aller plus loin. Ce résultat porte un nom : c'est le théorème de Bézout. Obtenir un volume v revient à trouver deux entiers u et w tels que u × a + w × b = v — remplir u fois le premier bidon et vider w fois le second.

Des centaines de PDF disponibles gratuitement !

Pour accéder à nos ressources gratuites, il vous suffit de sélectionner l'activité que vous désirez dans le formulaire au dessus de l'activité du jour. Ensuite, utilisez l'icône appropriée sous les liens de partage pour télécharger vos PDF.

N'oubliez pas, partager fait vivre les sites ! 😊 Merci de votre soutien !

🔗 Liens utiles

// Remarques, codes, note de version etc...

J'ai réalisé cette activité en Python, en utilisant xhtml2pdf pour la version PDF des activités. Mon travail est sous licence Creative commons.

La version actuelle est la version 3.2.0 (28/11/2023)

N'hésitez pas à me contacter si vous detectez la moindre imperfection, ou si vous imaginez une amélioration potentielle !

Open source et gratuité n'empêchent ni les dons ni les remerciements 😉
Un euro ou deux pour m'aider à payer le serveur ? ☕ Payez-moi un café via PayPal